算法导论课后习题第二章（1）

练习

2.1-1：以图 2-2 为模型，说明 INSERTION-SORT 在数组 A=<31,41,59,26,41,58>上的 执行过程。






2.1-2：重写过程 INSERTION-SORT，使之按非升序（而丌是按非降序）排序。

INSERTION-SORT(A)
1 for j ← 2 to length[A]
2 do key ←A[j]
3 Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1]
4 i ←j-1
5 while i > 0 and A[i] < key
6 do A[i+1]←A[i]
7 i ← i − 1
7 A[i+1]←key
2.1-3：考虑下面的查找问题：
输入：一列数 A=（a1 ,a2 ,…,an ）和一个值 v
输出：下标 i，使得 v=A[i]，或者当 v 不在 A 中出现时为 NIL。

写出针对这个问题的现行查找的伪代码，它顺序地扫描整个序列以查找 v。利用循环不变式证明算法的正确性。确保所给出的循环不变式满足三个必要的性质。
LINEAR-SEARCH(A,v)
1 for i ← 1 to length[A]
2 if v=A[i]

3 return i

4 return NIL

现行查找算法正确性的证明。
初始化： i=1，子数组为 A[1..i]，只有一个元素 A[1],如果 v=A[1]就返回 1,否则返回 NIL， 算法显然是正确的。
保持：若算法对数组 A[1..i]正确，则在数组增加一个元素 A[i+1]时，只需要多作一次比较， 因此显然对 A[1..i+1]也正确。
终止：算法如果在非最坏情况下定能返回一个值此时查找成功，如果 n 次查找（遍历了所有

的数）都没有成功，则返回 NIL。算法在有限次查找后肯定能够给出一个返回值，要么说明 查找成功并给出下标，要么说明无此值。因此算法正确。
该算法用 C#实现的代码：

public static int LinearSearch(T[] Input, T v) where T:IComparable
{
for (int i = 0; i < Input.Length;i++ )
if (Input[i].Equals(v))
return i;
return -1;
}
2.1-4：有两个各存放在数组 A 和 B 中的 n 位二迚制整数，考虑它们的相加问题。两个整数

的和以二迚制形式存放在具有(n+1)个元素的数组 C 中。请给出这个问题的形式化描述，并 写出伪代码。
A 存放了一个二进制 n 位整数的各位数值，B 存放了另一个同样是二进制 n 位整数的各位上 的数值，现在通过二进制的加法对这两个数进行计算，结果以二进制形式把各位上的数值存 放在数组 C（n+1 位）中。
BINARY-ADD(A,B,C)
1 flag 0
2 for j 1to n
3 do key←A[ j]+B[j]+flag
4 C[ j]←key mod 2
5 if key>1
6 flag←1
7 if flag=1
8 C[n+1]←1
笔记：

1.RAM(Random-Access Machine)模型分析通常能够很好地预测实际计算机上的性能，

RAM 计算模型中，指令一条接一条地执行，没有并发操作。RAM 模型中包含了真实计算机

中常见的指令：算术指令（加法、剑法、乘法、出发、取余、向下取整、向上取整指令）、 数据移动指令（装入、存储、复制指令）和控制指令（条件和非条件转移、子程序调用和返 回指令）。其中每天指令所需时间都为常量。
RAM 模型中的数据类型有整数类型和浮点实数类型。

2.算法的运行时间是指在特定输入时，所执行的基本操作数（戒步数）。 插入算法的分析比较简单，但是丌是很有用，所以略过。（在解思考题 2-1 时有具体的实例 分析，请参看）
3.一般考察算法的最坏情况运行时间。这样做的理由有三点： A．一个算法的最坏情况运行时间是在仸何输入下运行时间的一个上界。 B．对于某些算法，最坏情况出现的是相当频繁的。 C．大致上来看，“平均情况“通常不最坏情况一样差。
4.如果一个算法的最坏情况运行时间要比另一个算法的低，我们常常就认为它的效率更高。
练习：
2.2-1：用 Θ 形式表示表示函数/1000–100n+3

2.2-2:
考虑对数组 A 中的 n 个数进行排序的问题：首先找出 A 中的最小元素，并将其不是A[1]

中的元素迚行交换。接着，找出 A 中的次最小元素，并将其不 A[2]中的元素进行交换。对 A 中头 n-1 个元素继续这一过程。写出这个算法的伪代码，该算法称为选择排序（selection sort）。对这个算法来说，循环不变式是什么?为什么它仅需要在头 n-1 个元素上运行，而不仅需要在头 n-1 个元素上运行。是因为经过 n-1 次比较后剩下的是最大元素，其理应排在最后一个位置上，因此可以不必对此元素进行交换位置操作是在所有 n 个元素上运行？以