《算法导论》课后题--2--第二章（1）

2.3-2

分析：该题是对课本例子的简单改写；

作答：

MERGE(A,p,q,r)1n1 = q - p + 12n2 = r - q3let L[1..n1] and R[1..n2] be new arrays4for i = 1 to n15L[i] = A[p+i-1]6for j = 1 to n27R[j] = A[q+j]8i = 19j = 110k = q11while i <= n1 and j <= n212if L[i] <= R[j]13A[k] = L[i]14i = i + 115else A[k] = R[j]16j = j + 117k = k + 118if i <= n119for i to n120A[k] = L[i]21k = k + 122else for j to n223A[k] = R[j]24k = k + 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.3-3

分析：本题考查“数学归纳法”；

证明：

当k = 1时，，由题中递归式得：，该结果与待证明的式子结果相等：，故成立；

假设当k = i (i > 1)时，有递归式的解为成立；

当k = i + 1时，由题目得：

，成立

所以， 对当k >= 1时均成立。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.3-4

分析：本题考查递归式的书写，内容是“插入排序递归版”；

作答：

INSERTION-SORT(A)//假设排成不减序列1if A.length == 1//假设输入的数组为有效输入2return3else INSERTION-SORT(A[1..A.length-1])//规模缩减4INSERT(A[1..A.length-1],A[A.length])//结果合并5return注：INSERT(A[1..i],v)函数实现将单个值插入到已排好序的数组A中INSERT(A[1..i],v)//i取值在整个A的长度范围内1j = i2while j >= 1 and A[j] > v3A[j+1] = A[j]4j = j - 15A[j+1] = v//将v插入到正确的位置

对于最坏情况时，INSERT函数的时间复杂度为：，i为输入规模；

经简单分析得：

                           

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.3-5

分析：考查迭代，递归算法，伪代码书写，分析算法时间复杂度；

作答：（假设输入A为单调不减序列）

（1）迭代版：

BINARY-SEARCH(A,v)1L = 1//记录数组索引下界2H = A.length//记录数组索引上界3M = (L + H) / 2//记录数组中间位置的索引4while L <= H5if A[M] == v6return M7elseif A[M] > v8H = M - 19M = (L + H) / 210elseif A[M] < v11L = M + 112M = (L + H) / 213return NIL

（2）递归版：

//p,q记录要考查的子数组在A中的范围索引//p表示下界，q表示上界BINARY-SEARCH(A,p,q,v)1if p > q            //递归出口12return NIL3elseif p == q //递归出口24if A[p] == v5return p6else return NIL7else L = p8H = q9M = (L + H) / 210if A[M] == v11return M12elseif A[M] > v13return BINARY-SEARCH(A,L,M-1,v)14elseif A[M] < v15return BINARY-SEARCH(A,M+1,H,v)

关于时间复杂度为的证明，水平有限，没能给出详细过程；但是，简单分析下，从迭代版可知，时间复杂度主要取决于while循环迭代的次数，而长度为n的数组，在最坏情况下，只能当问题规模缩减为1时才能求解，所以，问题规模由n以每次缩减一半规模的速度降至1，只用缩减lgn的量级的次数就可以实现。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

加油！！！