KMP算法推导

申明：此文系博主对Huge对KMP算法的推导过程的加工整理而成，在读此文之前，如果对KMP算法不是非常了解的，可以去到http://blog.csdn.net/eternity1118_/article/details/51604641阅读有关KMP的相关知识，如果已经非常了解，那就请继续吧。。

有了以上的资料了解后，让我们一起来推导和构建KMP算法吧。

定义：

A是问题中模式串（短串），长度为n；

B是问题中的文本串（长串），长度为m；

其中，A[i]代表A字符串的第i位

B[j]代表B字符串的第j位

A[i,j]代表A字符串的第i位到第j位（注：下标从1开始）

B[i,j]代表B字符串的第i位到第j位（注：下标从1开始）

Sign(i,j)为符号函数，取值为0和1：

A[i] = B[j]，Sign(i,j) = 1；

A[i] != B[j]，Sign(i,j) = 0；

重点问题1：原始问题的等价表示

原始问题转化为以上公式的判定问题，判定公式最大值是否等于n；

对公式1进行优化，求和部分没有必要每次都运算n次，原因在于：在第一次有Sign(i,j+i-1) = 0的时候，就应该停止了；因此我们来假设一下，设第一次Sign函数在Sign(i,j+i-1) = 0的位置时，i的值为k+1，则公式1就可以写为下面的简化形式：

这里不难发现，以上两个公式所求问题是完全等价的。

重点2：推导公式2等价问题的性质

公式2中，存在两个不定量j和k，j与文本串有关，k与答案有关，因此使用一个函数f(j) = k 来完成从文本串到答案的映射。

故原问题就变成：寻找f(j)函数的最大值，等价为：max(f(j)) ?= n，设：

f(j) = k                条件1

f(j+e) = l             条件2

其中，l > k ，e表示满足条件的最小正整数，具体含义为：将来某一时刻能够找到一个后面的位置，使得其匹配成功的串长度比在它之前匹配成功的所有串长度k都更大，于是上述两个条件可等价为如下：

条件1等价为：A[1,k] = B[j,j+k-1]

条件2等价为：A[1,l]  = B[j+e,j+e+l-1]

将两个条件中串对齐，看看我们能推出什么性质，并且这个性质是原问题的充分不必要条件（这个性质，虽然与原问题不等价，但是不满足这一性质，原问题肯定不成立）：

另由j+e+l-1 = j+k-1 推出来 ： l = k-e，于是再代入条件2的等价式中，有：

A[1,l] = A[1,k-e]=B[j+e,j+k-1]，又由于公式1，所以A[1,l] = A[1+e,k]

由此，我们推导出f(j+e) > f(j)的一个重要性质，用短串来表达就是：A[1,k-e] = A[1+e,k]，也就是通常所说的前半段等于后半段。

另外由于e是满足条件的最小正整数，所以A[1,k-e] = A[1+e,k]的含义如下：

1）物理含义是：前后最大长度相等的片段；

2）当k+1位置匹配失败的时候，如果此时A串前k位匹配成功了，说明从B串的j+e位开始匹配，最低能够匹配成功k-e位，那么下一次判断，应该是用A的k-e+1位跟B串的j+k位进行比较（对于这个性质的理解很重要，在重点三中会用到）。

重点3：推导k和e的映射关系

设有函数g(k)=k-e等价于A[1,k-e] = A[1+e,k]，现在讨论g(k+1)值：

操作1：当A[k-e+1] = A[1+k]时，g(k+1)=g(k)+1

操作2：当A[k-e+1] != A[1+k]时，说明：A[1,k-e]A[k-e+1] 与串  A[e+1,k]A[k+1] 在最后一位上匹配失败了；将 A[e+1,k]A[k+1] 看做是文本串（与B串的性质类似），A[1,k-e]A[k-e+1] 看作模式串，根据以上推导，在k-e位匹配成功，k-e+1匹配失败的情况下，我们应该用A[g(k-e)+1]（等价于A[g(g(k))+1]）位于A[k+1]比较，如果两者相等，则进行操作1，否则继续操作2。

注意：由于我们的字符串下表是从1开始的，所以定义边界条件g(1)=0；如果从0开始，则g(1)=-1；

这里，对于函数g的理解非常重要，对于KMP算法的不同实现，其实就是在维护函数g中不同的变量值，由于变量涉及到k和e两个值，所以相应的，我们可以定义如下三种不同的g函数，每一种不同的g函数都对应了不同的KMP算法的具体实现：

g(k)= k-e

g(k)= -e

g(k)= e

OK，写到这里相信你已经具备了自己应用实践的能力了，得到了g函数（所谓的next数组）所有的对应关系后，怎样应用，请回顾重点2中的相关内容。