算法の动态规划poj1837

复习了动态规划の0-1背包问题，核心方程就是

if(c[i] > j)   f[i][j] = f[i-1][j];  )//如果背包的容量，放不下c[i]，则不选c[i]            

else

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j - c[i]] + v[i]);//这里注明一点，i指代物品数量，j指代背包容积，那么有两种情况，一个是不要第i件物品，那么就需要指导f[i-1][j]，一个是要第i件物品，这时候就需要知道f[i-1][j-c[i]]。

ps

状态方程dp[i][ j+ w[i]*c[k] ]= ∑（dp[i-1][j]）
（为什么是求和呢？一开始没想明白，后来明白了，这个可以这么想先把i当作定值，即现在我们求得就是i个物品的各种平衡度，因为该方程是放在j和k的循环体下的，所以j+w[i]*c[k]其实可能有很多种j和k的组合啦，所以方法数应该累加的。）


然后呢。这道天平的题参考了以下这位大神的博客，接下来我就是copy的了，出处见下方，刚开始写博客，因为核心是转载的，怕审核不通过，所以干脆就归到转载类型了，求大家告知，可以归到原创类型么，然后文章内注明转载？

優YoU   http://user.qzone.qq.com/289065406/blog/1299341345


题目大意：

有一个天平，天平左右两边各有若干个钩子，总共有C个钩子，有G个钩码，求将钩码全部挂到钩子上使天平平衡的方法的总数。

其中可以把天枰看做一个以x轴0点作为平衡点的横轴

输入：

2 4 //C 钩子数 与 G钩码数

-2 3 //负数：左边的钩子距离天平中央的距离；正数：右边的钩子距离天平中央的距离c[k]

3 4 5 8 //G个重物的质量w[i]

 

 

dp思路：

每向天平中方一个重物，天平的状态就会改变，而这个状态可以由若干前一状态获得。

 

首先定义一个平衡度j的概念

当平衡度j=0时，说明天枰达到平衡，j>0，说明天枰倾向右边（x轴右半轴），j<0则相反

那么此时可以把平衡度j看做为衡量当前天枰状态的一个值

因此可以定义一个 状态数组dp[i][j]，意为在挂满前i个钩码时，平衡度为j的挂法的数量。

由于距离c[i]的范围是-15~15，钩码重量的范围是1~25，钩码数量最大是20

因此最极端的平衡度是所有物体都挂在最远端，因此平衡度最大值为j=15*20*25=7500。原则上就应该有dp[ 1~20 ][-7500 ~ 7500 ]。

因此为了不让下标出现负数，做一个处理，使使得数组开为 dp[1~20][0~15000]，则当j=7500时天枰为平衡状态

 

那么每次挂上一个钩码后，对平衡状态的影响因素就是每个钩码的 力臂

力臂=重量 *臂长 = w[i]*c[k]

那么若在挂上第i个砝码之前，天枰的平衡度为j

   (换言之把前i-1个钩码全部挂上天枰后，天枰的平衡度为j)

则挂上第i个钩码后，即把前i个钩码全部挂上天枰后，天枰的平衡度 j=j+ w[i]*c[k]

   其中c[k]为天枰上钩子的位置，代表第i个钩码挂在不同位置会产生不同的平衡度

 

不难想到，假设 dp[i-1][j] 的值已知，设dp[i-1][j]=num

               （即已知把前i-1个钩码全部挂上天枰后得到状态j的方法有num次）

   那么dp[i][ j+ w[i]*c[k] ] = dp[i-1][j] = num

(即以此为前提，在第k个钩子挂上第i个钩码后，得到状态j+ w[i]*c[k]的方法也为num次)

 

想到这里，利用递归思想，不难得出 状态方程dp[i][ j+ w[i]*c[k] ]= ∑（dp[i-1][j]）

有些前辈推导方式稍微有点不同，得到的 状态方程为dp[i][j] =∑(dp[i - 1][j - c[i] * w[i]])

 

其实两条方程是等价的，这个可以简单验证出来，而且若首先推导到第二条方程，也必须转化为第一条方程，这是为了避免下标出现负数

 

结论：

最终转化为01背包问题

状态方程dp[i][ j+ w[i]*c[k] ]= ∑（dp[i-1][j]）

初始化：dp[0][7500] = 1;   //不挂任何重物时天枰平衡，此为一个方法

 

复杂度O(C*G*15000)  完全可以接受

//Memory Time //1496K  0MS //我所使用的解题方法，由于dp状态方程组申请空间比较大大//若dp为局部数组，则会部分机器执行程序时可能由于内存不足会无法响应//所以推荐定义dp为全局数组，优先分配内存#include<iostream>using namespace std;int dp[21][15001]; //状态数组dp[i][j]                   //放入（挂上）前i个物品（钩码）后，达到j状态的方法数int main(int i,int j,int k){int n;  //挂钩数int g;  //钩码数int c[21];  //挂钩位置int w[21];  //钩码重量/*Input*/cin>>n>>g;for(i=1;i<=n;i++)cin>>c[i];for(i=1;i<=g;i++)cin>>w[i];/*Initial*/memset(dp,0,sizeof(dp));  //达到每个状态的方法数初始化为0dp[0][7500]=1;     //7500为天枰达到平衡状态时的平衡度                   //放入前0个物品后，天枰达到平衡状态7500的方法有1个，就是不挂钩码/*DP*/for(i=1;i<=g;i++)for(j=0;j<=15000;j++)if(dp[i-1][j])  //优化，当放入i-1个物品时状态j已经出现且被统计过方法数，则直接使用统计结果            //否则忽略当前状态jfor(k=1;k<=n;k++)dp[i][ j+w[i]*c[k] ] += dp[i-1][j]; //状态方程/*Output*/cout<<dp[g][7500]<<endl;return 0;}

（为什么是求和呢？一开始没想明白，后来明白了，这个可以这么想先把i当作定值，即现在我们求得就是i个物品的各种平衡度）