2016程序设计实习期末考试07题上机（dp）

2016程序设计实习期末考试07题上机（dp）
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描述
又到周末了，同学们陆陆续续开开心心的来到机房上机。jbr也不例外，但是他到的有点晚，发现有些机位上已经有同学正在做题，有些机位还空着。细心的jbr发现，一位同学来到机房，坐在机位i上，如果他的左右两边都空着，他将获得能力值a[i]；如果当他坐下时，左边或者右边已经有一个人在上机了，他将获得能力值b[i]；如果当他坐下时，他的左边右边都有人在上机，他将获得能力值c[i]。

同时他发现，已经在上机的同学不会受到刚要坐下的同学的影响，即他们的能力值只会在坐下时产生，以后不会发生变化;第一个机位左边没有机位，最后一个机位右边没有机位，无论何时坐在这两个机位上将无法获得c值。

这时jbr发现有一排机器还空着，一共有N个机位，编号1到N。这时有N位同学们陆陆续续来到机房，一个一个按照顺序坐在这排机位上。聪明的jbr想知道怎么安排座位的顺序，可以使这N位同学获得能力值的和最大呢？

输入
第一行一个整数N(1<= N <= 10000)

第二行N个数，表示a[i]

第三行N个数，表示b[i]

第四行N个数，表示c[i]

(1<= a[i],b[i],c[i] <=10000)

输出

一个整数，表示获得最大的能力值和

样例输入

4
1 2 2 4
4 3 3 1
2 1 1 2

样例输出

14

提示
第一位同学坐在第四个机位上，获得能力值4；
第二位同学坐在第三个机位上，获得能力值3；
第三位同学坐在第二个机位上，获得能力值3；
第四位同学坐在第一个机位上，获得能力值4；
总和为14。

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这个题考试时候没想出来，后来再想一开始想错了。
纷繁复杂的顺序后面本质的状态是什么呢？
我一开始认为是一个东西放进去时候的相邻空位数，而且容易证明相邻空位数总和为n+1为存在这样顺序的充分必要条件。必要性可以考虑除了最边上外面两个空位，其他（n-1）对相邻空位必然被一方得到空位数，注意这一点空位一共有(n-1)+2=n+1个，证毕。充分性，可以归纳证明。首先必然存在2，将最左边放入得到了2，若余下来全是1，依次放完即可，若余下有0，则必然先不动最左边的相邻右边格子A，将A右边格子全放完后（由归纳假设这做得到），再A放一个0，也可以，证毕。
有了这个结论，就相当于把n+1代价，分配成代价0，1，2的物品计算最大价值。变成了一个背包问题，注意到一些特殊细节就好了，只可惜复杂度是O(n2)的，TLE，这就是version 1。
后来看了WHZ的代码，学习了version 2。只需注意一点，编号前n个格子放完后（而不是前n个放进的格子），编号前n个格子的价值只与放进格子n时候左右的空与不空和前编号n-1个格子得分有关。所以只需要维护一个数列dp[i][t1][t2]，其中t1，t2为0时候表示左边右边是空的，为1时表示左边右边是满的。version 2不像version 1考虑放进顺序却考虑位置顺序，换了一个角度，状态比较简单，继而降了维度，做到了O(n)，想来妙绝。

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version 1：

Wrong Answer    2   520kB   1730ms  546 B   G++

#define MAX_N 10000#include<stdio.h>int a[MAX_N+1][3];int f[MAX_N+4];int n;void test(){    /*    for (int i=0;i<=n+1;i++)        printf("%d  ",f[i]);    printf("\n");    return;    */} int main(){    scanf("%d",&n);    for (int j=2;j>=0;j--)        for (int i=1;i<=n;i++)            scanf("%d",&a[i][j]);    f[0]=0;    for (int i=1;i<n+2;i++)        f[i]=0x80000000;    for (int i=1;i<=n;i++)    {        for (int t=n+1;t>=0;t--)            for (int j=((i==1)||(i==n));j<=2 && j<=t;j++)                if (f[t]<f[t-j]+a[i][j])                    f[t]=f[t-j]+a[i][j];        test();    }    printf("%d\n",f[n+1]);    return 0;}

version 1：

Accepted    10  524kB   0ms 604 B   G++

#define MAX_N 100000#include<stdio.h>int n;int v[MAX_N][3];int dp[MAX_N][2][2];inline int Max(int a,int b){    return a>b?a:b;}int main(){    scanf("%d",&n);    for (int i=0;i<=2;i++)        for (int j=0;j<n;j++)            scanf("%d",&v[j][i]);    for (int i=0;i<n;i++)        for (int j=0;j<2;j++)            for (int k=0;k<2;k++)                dp[i][j][k]=0x80000000;    dp[0][0][0]=v[0][0];    dp[0][0][1]=v[0][1];    for (int i=1;i<n;i++)        for (int j=0;j<2;j++)            for (int k=0;k<2;k++)                for (int t=0;t<2;t++)                    dp[i][k][t]=Max(dp[i][k][t],dp[i-1][j][k^1]+v[i][k+t]);     printf("%d",Max(dp[n-1][0][0],dp[n-1][1][0]));    return 0;}