TSP问题之回溯算法

TSP问题(Traveling Salesman Problem)是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市，要求路径的总和最小。考虑用回溯算法求解。w(vi,vj)表示城市i与j间的直接距离，w(vi,vj)=∞表示城市i与j间无直接路径。将图中n个顶点编号为1,2,…,n，以顶点1为起点，旅行回路描述为1,x1,x2,..,xn,1，其中x1,x2,..,xn为顶点2,3,4,…,n的1个排列，因此解空间大小为(n-1)!。
有两个剪枝约束：
1.如果当前正在考虑的顶点j与当前路径中的末端结点i没有边相连，即w[i,j]=∞，则不必搜索j所在分支。

例如，当前已有的部分路径为<1,2,?,?>，根据路径组成规则，下一步可考虑将顶点3、4加入到部分路径中。但是顶点2与4间无边，w(2,4)=∞，因此可以不必考虑顶点4所在分支。
2.令到第i层结点为止，构造的部分解路径为<1,x[2],x[3],…,x[i-1], x[i],?,?,?>，该路径的权值总和为

假设已经知道直到第i-1层的部分解<1, x[2],x[3],…,x[i-1],?,?,?>，从第i-1层结点选择顶点x[i]，并向该分支往下搜索的界限函数为B(i)=cw(i-1)+w(x[i-1],x[i])，如果B(i)≥bestw则停止搜索x[i]分支及其下面的层，其中bestw代表到目前为止在前面的搜索中，从其它已经搜索过的路径中找到的最佳完整回路的总长度。

例如，该问题最优解为<1,3,2,4,1>和<1,4,2,3,1>，对应的bestw=25。假设搜索另一分支<1,3,4,?>，当前路径对应的结点为I，长度=6+20=26>bestw=25，则结点I之下的路径被舍弃。

下面的代码输入城市的个数n和边数m，接着输入每天边的起点、终点和长度，计算从第一个城市开始的TSP问题的最优解。

#include<cstring>  #include<iostream>  #define INF 10000  using namespace std;  int n,m;//n个点m条边   int bestans=INF,ans=0;//最优解和当前解   int bestroad[100],road[100];//最佳路径和当前路径   int graph[100][100];//图的矩阵   bool vis[100];//访问标记      void backtrack(int i)  {      if(i>n)              {          if(graph[road[n]][1]!=INF&&(ans+graph[road[n]][1])<bestans)          {                  bestans=ans+graph[road[n]][1];              for(int j=1;j<=n;j++) bestroad[j]=road[j];          }      }      else         {          for(int j=1;j<=n;j++)          {              if(graph[road[i-1]][j]!=INF&&ans+graph[road[i-1]][j]<bestans&&!vis[j])              {                  road[i]=j;                          ans+=graph[road[i-1]][j];                  vis[j]=1;                  backtrack(i+1);                  //改回辅助的全局变量                   ans-=graph[road[i-1]][j];                  vis[j]=0;              }          }      }  }    int main()  {      memset(graph,INF,sizeof(graph));      cin>>n>>m;      for(int i=1;i<=m;i++)      {          int a,b;          cin>>a>>b;          cin>>graph[a][b];          graph[b][a]=graph[a][b];      }       vis[1]=1;      road[1]=1;      //假设是从1开始       backtrack(2);      cout<<bestans<<endl;      for(int i=1;i<=n;i++) cout<<bestroad[i]<<" ";      cout<<1<<endl;  }