HDU 5710 Digit-Sum 数学杂题

原题见HDU 5710

题意：定义S(N)是N的数位之和，给出一对a,b(0<a,b<101)满足

a×S(n)=b×S(2n)

分析：S(n)与S(2n)的关系如何？

对于n中的任何一个数位x，若x为0-4，则因为没有进位，所以在S(2n)中贡献为2x;若x为5-9,则由于其超过10，在S(2n)中贡献为2x-10+1.这里不用担心因为进位会使得高位又满10进位，事实上前一位最多为2*9=18或者是单纯的8，不可能出现9.

x 位数 S(n) S(2n) 0~4 x 2x 5~9 L x 2x-9

可见只有5~9的位数使S(n)与S(2n)有了差异，即S(2n)=2S(n)−9L,代入原式，S(n)简记为S

a×S=b×(2S−9L)

则

(2b−a)S=9bL

1. a=2b，则L=0，S为任意值。可得最小的n=1；
2. a>2b，则L<0，矛盾！则无满足的n，输出0；
3. a<2b， S=9bL2b−a≤5L(至少有L个5)，即必须满足b≤5a，否则无满足的n，输出0。

继续讨论上述第三种情况，由于分母为2b-a，L周期性地使得右边式子可以整除，现在只要求出最小的L，枚举范围从1到2b-a必定会有满足的L。
得到一组满足的（L，S），构造最小的n。首先先要在后L位塞满5，剩下的(S-5L)开始从个位到高位塞4，直到塞完为止。

讨论：L与n的关系？

问题来了，既然L可以取多个，怎么保证最小的L使得n最小？
假设L’=L+x，S′=9b(L+x)2b−a
原来的位数(大约)是（除以4的地方应该加个向上取整）

9bL(2b−a)−9L4+L

现在的位数是

9b(L+x)(2b−a)−9(L+x)4+(L+x)

后面减前面，差值是

9bx(2b−a)−9x4+x=5a−b4(2b−a)x

又有条件b≤5a，则这个差值大于等于0.位数大的数肯定比原来大了。所以最小的L可以得到最小的n.

附代码

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