西行妖

Description

给出一棵树，你可以让最多s个叶子节点被染色。
然后，如果一个节点的儿子至少有一个被染色，那么他也会被染色。
如果一棵树有大于等于m个被染色的点，那么这棵树就是美丽的。
问给出一棵树，有多少种染色方案使得它是美丽的。
n,m<=1000,s<=20

Solution

很好的一道考验思维的题目。
我们可以按照dfs序中的顺序来对叶子节点进行dp。
我们设F[i,j,k]表示当前做到第i个叶子节点，并且第i个叶子节点必须染色，染了j个叶子节点，总共染了k个点的方案数。
那么我们可以写出转移方程

F[i,j,k]=∑F[l,j−1,k−dep[i]+dep[lca(i,l)]]

因为我们是按照dfs序做的，所以相邻两个的被选择的叶子节点i,j所造成的影响就是d[i]-d[lca(i,j)]。
但是这样是N^3S的，会炸！
那么我们可以快速求出lca。
我们用dfs来处理Dp。
每一次我们把一棵子树下面的F值就加上来，假设当前子数的根x的深度是D，那么我们设S[j,k,d]=∑F[i,j,k]。
然后这样还是没怎么优化，那么我们再设cnt[j,k−d]=∑S[j,k,d]
这样的话，我们往下做到的叶子节点和前面这些叶子节点的lca都是x了。
于是F[i,j,k]=cnt[j−1,k−d]
然后就可以了。

Code

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)#define rep(i,a) for(int i=last[a];i;i=next[i])#define N 1005using namespace std;const int mo=1000000000+7;int n,m,S,l,tot,ans,x,d[N],f[N][21][N],s[21][N][N],cnt[21][2*N];int last[N],next[N],t[N];void add(int x,int y) {    t[++l]=y;next[l]=last[x];last[x]=l;}void dfs(int x) {    rep(i,x) d[t[i]]=d[x]+1,dfs(t[i]);    if (!last[x]) {        ++tot;        fo(j,1,S) fo(k,d[x],n) f[tot][j][k]=cnt[j-1][k-d[x]];        fo(j,1,S) fo(k,1,n) if (f[tot][j][k]) (s[j][k][d[x]]+=f[tot][j][k])%=mo;        fo(j,1,S) fo(k,d[x],n) if (f[tot][j][k]) (cnt[j][k-d[x]]+=f[tot][j][k])%=mo;    }    fo(j,1,S) fo(k,d[x],n) if (s[j][k][d[x]]) {        (cnt[j][k-d[x]+1]+=s[j][k][d[x]])%=mo;        (cnt[j][k-d[x]]-=s[j][k][d[x]])%=mo;    }    fo(j,1,S) fo(k,1,n) if (s[j][k][d[x]]) {        (s[j][k][d[x]-1]+=s[j][k][d[x]])%=mo;        s[j][k][d[x]]=0;    }}int main() {    freopen("tree.in","r",stdin);    freopen("tree.out","w",stdout);    scanf("%d%d%d",&n,&m,&S);cnt[0][0]=1;    fo(i,2,n) scanf("%d",&x),add(x,i);d[1]=1;dfs(1);    fo(i,1,tot) fo(j,1,S) fo(k,m,n) if (f[i][j][k]) ans=(ans+f[i][j][k])%mo;    printf("%d",ans);}