解题报告：UVA11395 Sigma Function 找规律

Sigma Function

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Description

Sigma function is an interesting function in Number Theory. It is denoted by the Greek letter Sigma (σ). This function actually denotes the sum of all divisors of a number. For example σ(24) = 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Sigma of small numbers is easy to find but for large numbers it is very difficult to find in a straight forward way. But mathematicians have discovered a formula to find sigma. If the prime power decomposition of an integer is

Then we can write,

For some n the value of σ(n) is odd and for others it is even. Given a valuen, you will have to find how many integers from 1 ton have even value of σ.

Input

Input starts with an integer T (≤ 100), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 10¹²).

Output

For each case, print the case number and the result.

Sample Input

4

3

10

100

1000

Sample Output

Case 1: 1

Case 2: 5

Case 3: 83

Case 4: 947

题意：

已知把数的唯一分解式里的值代入 给定的公式 会得到一个数，这个数可能是奇数或偶数，现在给定一个数n，问你 1 ~ n中经过公式运算得到的值有多少个是偶数，注意 1 的 公式值 不是 偶数 。

思路：

这题我先是胡乱想了一通最后打到100内表突然看见了83......真是熟悉的数字，然后又突然得出了公式了。。
ans = n-(long long)sqrt(n)-(long long)sqrt(n/2) 

之前胡乱想的想法还是有点帮助的，但是好像没什么实质的作用。就放在最后记录一下自己看吧。。这题A的真是运气

代码：

#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){    int T,t=0;scanf("%d",&T);    while(T--){        long long n ;        scanf("%lld",&n);        printf("Case %d: %lld\n",++t,n-(long long)sqrt(n)-(long long)sqrt(n/2));    }return 0;}

我先看题目给定的公式，很明显每个乘号隔开的式子就是一个等比数列求和公式。

于是先将唯一分解式转换成一个更形象的式子。

简要的用话语描述第二个式子就是：   将公式的每一项变成 长度为 （ei+1），首项为1，公比为 pi  等比数列的和  。 

那么接下来我们要求的是 1~n 的区间内 公式值为 偶数的 数的个数。

我们知道：

1. 偶数乘以任意数都是偶数，奇数乘以奇数总是奇数。

可知：只要公式中任意一项为偶数，则公式的值一定为偶数。

2. 偶数加上偶数的结果为偶数，偶数加上奇数的结果为奇数。   

可知：那么我们知道当素因子p为偶数时，它的等比数列的和一定为奇数（因为只有第一项为奇数1，其余项都是偶数）。

3.奇数个奇数相加的结果为奇数，偶数个奇数相加的结果为偶数。

可知：当素因子p为奇数时，若对应的e为奇数，那么该等比数列有偶数项，数列和为偶数。反之，对应的e为偶数时，该等比数列有奇数项，对应的等比数列的和为奇数。

综上所得，可知要求的是 1~n中含有奇数个奇数素因子（其实就是除了2以为的其余素因子）的数的个数。