poj 1276 Cash Machine 多重背包

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题目大意

有各种不同面值的货币，每种面值的货币有不同的数量，请找出利用这些货币可以凑成的最接近且小于等于给定的数字cash的金额。
输入的前两个数表示背包容量，第二个数字表示有N种货币
接下来的N组两个数。第一个数表示货币数量，第二个数表示货币的价值
输出最接近并且小于等于背包容量的价值。

解题思路

在理解的01背包的基础上， 完全背包，指每个物品有无限多个。 多重背包，指每个物品的数量是有限的。当然，这时的问题不再是拿与不拿，而是拿多少的问题，当然不能超过背包容量。
状态转移方程为:dp( i,j ) = Max( dp( i-1, j ), dp( i-1, j-k*w[i]) + k*v[i] ) ( 0 <= k <= c/ w[i] ).
看到这方程中有三个变量，最普遍的思想就是三层循环依次遍历i,j,k。但是这种如果数据的范围过大的时候就很容易超时了。
我们一般会采用一种方法就是二进制压缩。将原来的物品按照2的n次方进行重新组合。用1、2、4、8…进行组合，可以组合出任意的数字。

AC代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;int main(){    int n,amount;    int num,deno;    int dp[100005];    int value[100005];    while(scanf("%d%d",&amount,&n)!=EOF)    {        int cnt = 1;        memset(dp,0,sizeof dp);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d%d",&num,&deno);            for(int j=1;j<=num;j*=2)//二进制压缩            {                value[cnt++] = j*deno;                num-=j;            }            if(num>0)                value[cnt++] = num * deno;        }        //如果不懂画一个二维表就差不多能懂了        for(int i=1;i<cnt;i++)        {            for(int j = amount;j>=value[i];j--)                dp[j] = max(dp[j],dp[j-value[i]]+value[i]);        }        printf("%d\n",dp[amount]);    }    return 0;}