背包问题《1》01背包

01背包： 

01背包的问题模型是：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

f[i][v]  =   max  { f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]] + w[i] }

状态转移方程解析：

f[i][v]  =   max {  f[i-1][v]     ,   f[i-1][v-c[i]] + w[i]     }

总价值   =   取最大｛ 不放这个包    或     放这个包之后的总价值   ｝

现在需要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此

f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包，

而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值。

比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中。

理解原理后，看下面的例子：hdu2546

饭卡

Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 21721    Accepted Submission(s): 7589

Problem Description

电子科大本部食堂的饭卡有一种很诡异的设计，即在购买之前判断余额。如果购买一个商品之前，卡上的剩余金额大于或等于5元，就一定可以购买成功（即使购买后卡上余额为负），否则无法购买（即使金额足够）。所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。
某天，食堂中有n种菜出售，每种菜可购买一次。已知每种菜的价格以及卡上的余额，问最少可使卡上的余额为多少。

 

Input

多组数据。对于每组数据：
第一行为正整数n，表示菜的数量。n<=1000。
第二行包括n个正整数，表示每种菜的价格。价格不超过50。
第三行包括一个正整数m，表示卡上的余额。m<=1000。

n=0表示数据结束。

 

Output

对于每组输入,输出一行,包含一个整数，表示卡上可能的最小余额。

 

Sample Input

1505101 2 3 2 1 1 2 3 2 1500

 

Sample Output

-4532

#include <stdio.h>#include <algorithm>using namespace std;int cmp(int a,int b){    return a<b;}int main(){    int n;    while(~scanf("%d",&n),n)    {        int i,price[2013]= {0},dp[2013] = {0};        for(i = 1; i<=n; i++)            scanf("%d",&price[i]);        sort(price+1,price+1+n,cmp);        int MAX=price[n];        int j,m;        scanf("%d",&m);        if(m<5)       //低于5元不能购买        {            printf("%d\n",m);            continue;        }        m-=5;    //取出5元用于购买最贵的物品        for(i = 1; i<n; i++)   //01背包        {            for(j = m;j>=price[i];j--)            {                dp[j] = max(dp[j],dp[j-price[i]]+price[i]);            }        }        printf("%d\n",m+5-dp[m]-MAX);    }    return 0;}