讨论动态规划的优点 - 相比于穷举法 - （以最短路径为例）

一、熟知动态规划有以下的优点：

优点1.减少了计算量，随着段数的增加，计算量大大减少。

优点2.计算中得到了很多有用的中间过程，不仅得到了出发点到终点的最短路径，而且得到了中间各点到终点的最短路径。

二、回顾动态规划的基本思想：

三、通过以下例子，我们将清楚的看到动态规划的优点：（以最短路径为例）

1、段数较少

以下的图为例

说明动态规划的优点，这里我们以整个过程中做的加法次数为指标，次数越少，我们认为计算量越好，效率越高。

穷举法的加法次数：1*2*3*1 = 6

动态规划（逆向D->A）：2*3+1*2 = 8

（说明：动态规划第一步从B->D，不从C->D，C->D不存在选择最短路）

这个似乎不能说明动态规划比穷举法的计算量小，其实是阶段数较少，当阶段数增加后，动态规划的优势明显体现。

2、段数较多

（假设每一层的某个状态都可以到达下一层的每个状态）

穷举法的加法次数：1*2*3*4*4*3*2*1 = 576

动态规划（逆向D->A）：3*2+4*3+4*4+3*4+2*3+1*2 = 54

这下明显可以看出动态的优势，大大减少了计算量；至于说得到有用的中间量，这个不用多解释。

3、量化直接说明动态规划减少计算量的优势

以二中的特殊情况为例，两边对称，段数为偶数的情况，所以一共有2n个阶段（加上始末）。

穷举法的加法次数：（1*2*3*…*n）^2 = （1*2*3*…*n）*（1*2*3*…*n）

动态规划的加法次数：(n*n+(n-1)n+(n-2)(n-1)+...+1*2)*2-1*2< (n*n+(n-1)n+(n-2)(n-1)+...+1*2)*2 < (n*n+(n-1)n+(n-2)n+...+1*n)*2 = (n+(n-1)+(n-2)+...+1)*n*2

当n>3时，（1*2*3*…*n）> (n+(n-1)+(n-2)+...+1) 这个成立，随着n变大差距越越大，毕竟是相乘嘛!

（1*2*3*…*n）> n*2

所以很明显，当段数增加时，动态规划的计算量是成倍成倍的减少。

四、注意动态规划中的无后效性(马尔可夫性)

如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受这个阶段以前各段状态的影响；
过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展；构造动态规划模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求；