回文字符串问题

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一、动态规划法

定义boolean型的 p[i][j]，为 Si 到 Sj 是否为回文，true 说明 Si 到 Sj 是回文字符串
则有，P[i,j] = (P[i + 1, j - 1] && Si ==Sj)
初始条件p[i, i] = true, p[i,i+1] = S_i==S_i+1
动态规划的思想是首先判断相邻的字符串是否是回文，然后继续判断连续的三个字符是否是回文，然后是四个，…，直到判断完整个字符串
时间复杂度O(n²)，空间复杂度O(n²)
代码实现：

public static String longestPalindromeDP(String str){    if (str == null || str.length() <= 0) return null;    int len = str.length();    int startIndex = 0;    int maxLen = 1;    boolean[][] p = new boolean[len][len];    for (int i = 0; i < len; i++){        for (int j = 0; j < len; j++){            if (i == j) {                p[i][j] = true;                continue;            }            p[i][j] = false;        }    }    for (int i = 0; i < len - 1; i++){        //相邻的相同        if (str.charAt(i) == str.charAt(i+1)){            p[i][i+1] = true;            startIndex = i;            maxLen = 2;        }    }    for (int i = 3; i <= len; i++){        for (int j = 0; j < len - i + 1; j++){            //当前判断回文长度为i，起始位置为j            int currLast = j + i - 1;            if (str.charAt(j) == str.charAt(currLast) && p[j+1][currLast-1]){                p[j][currLast] = true;                startIndex = j;                maxLen = i;            }        }    }    return str.substring(startIndex, startIndex+maxLen);}

二、中心检测法

回文字符串的特点是以中心对称，从0开始依次遍历字符串，每次以选取的点为中心，向两边检测，判断是否符合回文字符串。
时间复杂度O(n²)，空间复杂度O(1)

public static String longestPalindromeCerter(String str){    if (str == null || str.length() <= 0) return null;    String longest = str.substring(0,1);    for (int i = 0; i < str.length() - 1; i++){        //获得以i为中心的回文字符串        String s = getPalindromeCerter(str, i, i);        if (s.length() > longest.length()){            longest = s;        }        //获得以i和i+1为中心的回文字符串        s = getPalindromeCerter(str, i, i + 1);        if (s.length() > longest.length()){            longest = s;        }    }    return longest;}//获得以i,j为中心的回文字符串i==j时，就是以i为中心的回文字符串private static String getPalindromeCerter(String str, int i, int j) {    while (i >= 0 && j < str.length() && str.charAt(i) == str.charAt(j)){        i --;        j ++;    }    return str.substring(i + 1, j);}

三、添加辅助标志

首先我们把字符串S改造一下变成T，改造方法是：在S的每个字符之间和S首尾都插入一个”#”。这样做的理由你很快就会知道。

例如，S=”abaaba”，那么T=”#a#b#a#a#b#a#”。

想一下，你必须在以Ti为中心左右扩展才能确定以Ti为中心的回文长度d到底是多少。（就是说这一步是无法避免的）
为了改进最坏的情况，我们把各个Ti处的回文半径存储到数组P，用P[i]表示以Ti为中心的回文长度。那么当我们求出所有的P[i]，取其中最大值就能找到最长回文子串了。

对于上文的示例，我们先直接写出所有的P研究一下。
i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C
T = # a # b # a # a # b # a #
P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0

显然最长子串就是以P[6]为中心的”abaaba”。

你是否发现了，在插入”#”后，长度为奇数和偶数的回文都可以优雅地处理了？这就是其用处。

现在，想象你在”abaaba”中心画一道竖线，你是否注意到数组P围绕此竖线是中心对称的？再试试”aba”的中心，P围绕此中心也是对称的。这当然不是巧合，而是在某个条件下的必然规律。我们将利用此规律减少对数组P中某些元素的重复计算。

我们来看一个重叠得更典型的例子，即S=”babcbabcbaccba”。

上图展示了把S转换为T的样子。假设你已经算出了一部分P。竖实线表示回文”abcbabcba”的中心C，两个虚实线表示其左右边界L和R。你下一步要计算P[i]，i围绕C的对称点是i’。有办法高效地计算P[i]吗？

我们先看一下i围绕C的对称点i’（此时i’=9）。

据上图所示，很明显P[i]=P[i’]=1。这是因为i和i’围绕C对称。同理，P[12]=P[10]=0，P[14]=P[8]=0。

现在再看i=15处。此时P[15]=P[7]=7？错了，你逐个字符检测一下会发现此时P[15]应该是5。

为什么此时规则变了？

如上图所示，两条绿色实线划定的范围必定是对称的，两条绿色虚线划定的范围必定也是对称的。此时请注意P[i’]=7，超过了左边界L。超出的部分就不对称了。此时我们只知道P[i]>=5，至于P[i]还能否扩展，只有通过逐个字符检测才能判定了。

在此例中，P[21]≠P[9]，所以P[i]=P[15]=5。

我们总结一下上述分析过程，就是这个算法的关键部分了。
if P[ i’ ] < R – i,
**then **P[ i ] ← P[ i’ ]
**else **P[ i ] ≥ R - i. (此时要穿过R逐个字符判定P[i]).

很明显C的位置也是需要移动的，这个很容易：
如果i处的回文超过了R，那么就C=i，同时相应改变L和R即可。

每次求P[i]，都有两种可能。如果P[i‘] < R – i，我们就P[i] = P[i’]。否则，就从R开始逐个字符求P[i]，并更新C及其R。此时扩展R（逐个字符求P[i]）最多用N步，而求每个C也总共需要N步。所以时间复杂度是2*N，即O(N)。
时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)

实现：

/** * 通过添加辅助标识，来获得最长回文子串 * @param str * @return */public static String longestPalindromeAddTag(String str){    if (str == null || str.length() <= 0) return null;    StringBuilder sb = addTag(str);    int[] p = new int[sb.length()]; //以i为中心的，左右半边的回文子串长度（包括#）    p[0] = p[sb.length() - 1] = 0;    int center = 0; int r = 0;    for (int i = 1; i < sb.length() - 1; i++){        int i_mirror = center - ( i - center);        int diff = r - i;        if (i_mirror>= 0){            if (p[i_mirror] < diff) p[i] = p[i_mirror];            else {                center = i;                p[i] = diff;                int pre = i - p[i] - 1;  //往前                int after = i + p[i] + 1; //往后                while (pre >= 0 && after < sb.length() &&                        sb.charAt(pre) == sb.charAt(after)){                    p[i] ++;                    pre --;  //往前                    after ++; //往后                }                r = i + p[i];  //当前中心的右边缘            }        }else {            center = i;            p[i] = 0;            int pre = i - p[i] - 1;  //往前            int after = i + p[i] + 1; //往后            while (pre >= 0 && after < sb.length() &&                    sb.charAt(pre) == sb.charAt(after)){                p[i] ++;                pre --;  //往前                after ++; //往后            }            r = i + p[i];  //当前中心的右边缘        }    }    int maxLen = 0;    int index = 0;    for (int i = 0; i < sb.length(); i++){        if (p[i] > maxLen){            maxLen = p[i];            index = i;        }    }    int start = (index >> 1) - (maxLen >> 1);    int last = (index >> 1) + (maxLen >> 1);    if ((index & 0x01) == 1) last++;    return str.substring(start,last);}/** * 向字符串中插入#，如 ab，则返回 #a#b# * @param str * @return */private static StringBuilder addTag(String str) {    StringBuilder sb = new StringBuilder();    sb.append('#');    for (int i = 0; i < str.length(); i++){        sb.append(str.charAt(i));        sb.append('#');    }    return sb;}

四、字符串变成回文字符串需要添加的字符数

f(i,j)表示s[i..j]变为回文串需要添加的最少字符数。f(i,j)=0 if i>=jf(i,j)=f(i+1,j-1) if i<j and s[i]==s[j]f(i,j)=min(f(i,j-1),f(i+1,j))+1 if i<j and s[i]!=s[j]

实现：

/** * 添加多少字符串使字符串变为回文串 * @param str * @return */public static int addTobePalindrome(String str){    if (str == null || str.length() <= 0) return 0;    int len = str.length();    int[][] p = new int[len][len];    for (int i = 0; i < len; i++){        for (int j = 0; j < len; j++){            p[i][j] = 0;        }    }    for (int i = 2; i <= len; i++){        for (int j = 0; j < len - i + 1; j++){            int currLast = j + i - 1;            if (str.charAt(j) == str.charAt(currLast)){ //判断s[i...j]需要添加的字符个数                p[j][currLast] = p[j+1][currLast-1];            }else {                p[j][currLast] = 1 + (p[j][currLast - 1] < p[j+1][currLast] ? p[j][currLast - 1] : p[j+1][currLast] );            }        }    }    return p[0][len-1];}

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参考：
[1]http://www.cnblogs.com/bitzhuwei/p/Longest-Palindromic-Substring-Par-I.html
[2]http://www.cnblogs.com/bitzhuwei/p/Longest-Palindromic-Substring-Part-II.html