找出缺失的整数

今天看到下面分享的这篇文章，顺便学习了一下其中的算法思路，谨在此将内容整理一下，留待备用。
漫画算法：找出缺失的整数

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原始题目

一个无序数组里，有99个不重复正整数，范围从1到100，唯独缺少一个整数，如何找出这个缺失的整数？

解法一：（使用哈希表）
创建一个HashMap，以1到100为键，值都是0 。然后遍历整个数组，每读到一个整数，就找到HashMap当中对应的键，让其值加一。
由于数组中缺少一个整数，最终一定有99个键值等于1, 剩下一个键值等于0。遍历修改后的HashMap，找到这个值为0的键。
假设数组长度是N，那么该解法的时间复杂度是O（1），空间复杂度是O（N）。

待补充

时间上是最优的，但额外开辟了空间，如何降低空间复杂度？

解法二：（对原数组排序）
先把数组元素进行排序，然后遍历数组，要么有其中两个相邻元素之间的差不是1，要么缺失的整数是1或100。
假设数组长度是N，如果用时间复杂度为O（N*LogN）的排序算法进行排序，那么该解法的时间复杂度是O（N*LogN），空间复杂度是O（1）。

待补充

没有开辟额外空间，但是时间复杂度又大了，有什么办法能让时间和空间都优化呢？

解法三：

很简单也很高效的方法，先算出1+2+3….+100的合，然后依次减去数组里的元素，最后得到的差，就是唯一缺失的整数。

待补充

假设数组长度是N，那么该解法的时间复杂度是O（N），空间复杂度是O（1）。

题目第一次扩展

一个无序数组里有若干个正整数，范围从1到100，其中99个整数都出现了偶数次，只有一个整数出现了奇数次（比如1,1,2,2,3,3,4,5,5），如何找到这个出现奇数次的整数？
这个问题中，需要注意一点：这些数字是无序的。
提示：异或运算，在位运算时，相同位结果为0，不同位结果为1.

解法：（将数组中所有的元素依次进行异或，最后得到的就是结果）。
遍历整个数组，依次做异或运算。由于异或在位运算时相同为0，不同为1，因此所有出现偶数次的整数都会相互抵消变成0，只有唯一出现奇数次的整数会被留下。
假设数组长度是N，那么该解法的时间复杂度是O（N），空间复杂度是O（1）。
例如：对于序列2345432，由于数字不超过8，所以可以用3位二进制数表示，则：
2—–010
3—–011
4—–100
5—–101
则2 xor 3 = 001 xor 4 = 101 xor 5 = 000 xor 4 = 100 xor 3 = 111 xor 2 = 101 异或所得结果恰好为5的二进制值。
因为具有偶数个的数字异或的最终结果必定为0，所以奇数个数的数字相当于与000异或，与000异或相当于保持原来的数字不变，原来为0的位置仍然为0，原来为1的地方仍然为1.

待补充

题目第二次扩展

一个无序数组里有若干个正整数，范围从1到100，其中98个整数都出现了偶数次，只有两个整数出现了奇数次（比如1,1,2,2,3,4,5,5），如何找到这个出现奇数次的整数？

解法：（使用分治法，将两个出现奇数次的整数分到不同的子问题中）
遍历整个数组，依次做异或运算。由于数组存在两个出现奇数次的整数，所以最终异或的结果，等同于这两个整数的异或结果。这个结果中，至少会有一个二进制位是1（如果都是0，说明两个数相等，和题目不符）。

举个例子，如果最终异或的结果是5，转换成二进制是00000101。此时我们可以选择任意一个是1的二进制位来分析，比如末位。把两个奇数次出现的整数命名为A和B，如果末位是1，说明A和B转为二进制的末位不同，必定其中一个整数的末位是1，另一个整数的末位是0。

根据这个结论，我们可以把原数组按照二进制的末位不同，分成两部分，一部分的末位是1，一部分的末位是0。由于A和B的末位不同，所以A在其中一部分，B在其中一部分，绝不会出现A和B在同一部分，另一部分没有的情况。

这样一来就简单了，我们的问题又回归到了上一题的情况，按照原先的异或解法，从每一部分中找出唯一的奇数次整数即可。

待补充

假设数组长度是N，那么该解法的时间复杂度是O（N）。把数组分成两部分，并不需要借助额外存储空间，完全可以在按二进制位分组的同时来做异或运算，所以空间复杂度仍然是O（1）。