最大流最小割（概念）

最大流和最小割

先前学习了最大流，那么，这个最小割是怎么又跟最大流联系在了一起呢？

先来理一下割的有关概念和定量

1.割的定义：

割（CUT）是网络中顶点的一个划分。它把顶点分成两个集合：S和T。其中，源点s属于S，汇点t属于T。记作CUT（S，T）

如图，源点s = 1，汇点t = 5。棕色的数字代表容量。

例如，

1  )顶点集合S={1，2，3}和T={4，5}构成一个割。

2  ) 顶点集合S={1，3}和T={2，4，5}构成一个割。

3  ) 顶点集合S={1，3，5}和T={2，4}不能构成一个割。

因为s=1和t=5处在了同一个集合S。

2.割边

如果一条弧的两个顶点分别属于顶点集S和T（即一个顶点在S，另一个顶点在T），那么这条弧称为割CUT（S和T）的一条割边。

从S指向T的割边是正向割边。

从T指向S的割边是逆向割边。

例如  顶点集合S={1，3}和T={2，4，5}构成的一个割，其中，正向割边：1->2, 3->5 逆向割边：2->3

割CUT（S，T）中所有正向割边的容量和称为割CUT（S，T）的容量。

例如，1 ）中的割CUT的容量为 3+4=7。

2 ）中割CUT的容量为 4+4=8

3.网络流与割的关系

定理1：如果f是网络中的一个流，CUT（S，T）是任意一个割，那么f的值等于正向割边的流量与负向割边的流量之差。

推论：1.如果f是网络中的一个流，CUT（S，T）是一个割，那么f的值不超过割CUT（S，T）的容量；2.网络中的最大流不超过任何割的容量。

定理2：在任何网络中，如果f是一个流，CUT（S，T）是一个割，且f的值等于割CUT（S，T）的容量，那么f是一个最大流，CUT（S，T）是一个最小割（容量最小的割）。

定理3：在任何网络中，最大流的值等于最小割的容量。

最大流=7，最小割=7。

结论：最大流时，最小割CUT（S，T）中，正向割边的流量=容量，逆向割边的流量为0，否否则还可以增广。

问题：如何求集合S？

答：数组pre[i]记录增广路径上节点i的前驱节点。初始值pre[i]=-1，b[1]=0;假设1是源点。

那么，如果pre[i] > 1, 说明i有前驱，是能从源点1找到的点，那么i属于S。