HDU 5730 Shell Necklace（CDQ分治+FFT）

Description
给出长度分别为1~n的珠子，长度为i的珠子有a[i]种，每种珠子有无限个，问用这些珠子串成长度为n的链有多少种方案
Input
多组用例，每组用例首先输入一整数n表示链长，之后n个整数ai表示长度为i的珠子种类数，以n=0结束输入(n<=10^5,0<=ai<=10^7)
Output
对每组用例，输出方案数，结果模313
Sample Input
3
1 3 7
4
2 2 2 2
0
Sample Output
14
54
Solution
令dp[i]表示用这些珠子串成长度为i的链的方案数，并令dp[0]=1，轻易得到转移方程

由上式暴力求dp[n]时间复杂度O(n^2)，显然不行，考虑到上式右边是一个卷积形式，所以用CDQ分治+FFT来降低复杂度，假设CDQ(l,r)为求出dp[l],dp[l+1],…,dp[r]的值，那么如果已经通过CDQ(l,mid)求出了dp[l],dp[l+1],…,dp[mid]，下面考虑dp[l],dp[l+1],…,dp[mid]对dp[mid+1],dp[mid+2],…,dp[r]的贡献，令g[i]表示dp[l],…,dp[mid]对dp[i]的贡献，那么有，令x[i]=dp[i+l] (i=0,…,mid-l)，y[i]=a[i+1] (i=0,…,r-l-1)，则有

所以对x序列和y序列做一遍FFT即可得到z序列，进而得到g序列
总时间复杂度O(nlognlogn)
Code

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;typedef long long ll;#define maxn 444444#define mod 313//FFT,快速求离散卷积,时间复杂度O(nlogn) #define PI acos(-1.0) struct complex{    double r,i;    complex(double _r=0,double _i=0)    {        r=_r,i=_i;    }    complex operator +(const complex &b)    {        return complex(r+b.r,i+b.i);    }    complex operator -(const complex &b)    {        return complex(r-b.r,i-b.i);    }    complex operator *(const complex &b)    {        return complex(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);    }    complex conj()    {        return complex(r,-i);    }};int pos[maxn];void init(int len){    int j=0;    while((1<<j)<len)j++;    j--;    for(int i=0;i<len;i++)        pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<j);}void fft(complex *x,int len,int sta){    for(int i=0;i<len;i++)        if(i<pos[i])swap(x[i],x[pos[i]]);    for(int m=2;m<=len;m<<=1)    {        complex Wn(cos(sta*2*PI/m),sin(sta*2*PI/m));        for(int i=0;i<len;i+=m)        {            complex W(1,0);            for(int j=i;j<i+m/2;j++)            {                complex x1=x[j],x2=W*x[j+m/2];                x[j]=x1+x2,x[j+m/2]=x1-x2;                W=W*Wn;            }        }    }    if(sta==-1)        for(int i=0;i<len;i++)            x[i].r/=len;}complex x[maxn],y[maxn]; void FFT(int *a,int *b,int len1,int len2,int *c){    int len=1;    while(len<len1+len2)len<<=1;    init(len);    for(int i=len1;i<len;i++)a[i]=0;    for(int i=len2;i<len;i++)b[i]=0;    for(int i=0;i<len;i++)x[i]=complex(a[i],b[i]);    fft(x,len,1);    for(int i=0;i<len;i++)    {        int j=(len-i)&(len-1);        y[i]=(x[i]*x[i]-(x[j]*x[j]).conj())*complex(0,-0.25);    }    fft(y,len,-1);    for(int i=0;i<len;i++)c[i]=(ll)(y[i].r+0.5)%mod;}int n,a[maxn],b[maxn],dp[maxn],c[maxn],d[maxn];void deal(int l,int r){    if(l==r)    {        dp[l]+=a[l],dp[l]%=mod;        return ;     }    int mid=(l+r)>>1;    deal(l,mid);    for(int i=0;i<=mid-l;i++)c[i]=dp[i+l];    for(int i=0;i<=r-l+1;i++)d[i]=a[i+1];    FFT(c,d,mid-l+1,r-l+2,b);    for(int i=mid+1;i<=r;i++)        dp[i]+=b[i-l-1],dp[i]%=mod;    deal(mid+1,r);}int main(){    while(scanf("%d",&n),n)    {        memset(dp,0,sizeof(dp));        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),a[i]%=mod;        deal(1,n);        printf("%d\n",dp[n]);    }    return 0;}