酒厂选址

【问题描述】

　　某岛的居民酷爱一种无酒精啤酒。以前这种啤酒都是从波兰进口，但今年居民们想建一个自己的啤酒厂。岛上所有城市都坐落在海边，并且由一条沿海岸线的环岛高速路连接。酒厂的投资者收集了关于啤酒需求量的信息，即每天各城市消费的啤酒桶数。另外还知道每相邻城市之间的距离（单位：千米），另外还知道每桶啤酒每千米的运费是1元。日运费是将所需的啤酒运到所有城市所需费用之和。日运费的多少和啤酒厂的选址有关系。投资者想找到一个合适的城市来修建酒厂。以使日运费最少。

　　任务：请设计一个程序，读入城市的数目、相邻两城市间的距离以及每个城市消费啤酒的桶数，计算和输出最小的日运费。

【输入格式】

　　第1行：一个整数N，表示城市数量。城市沿环岛高速编号，所以相邻两城市的编号也是相邻的（城市1和城市N被认为是相邻的）。
　　以下N行，每行两个非负整数。第i+1行的数Zi和Di分别是第i个城市每天消费啤酒桶数和到下一个城市的距离（千米）。环岛高速的总长不超过1000000千米。每座城市的日消费量不超过1000桶。

【输出格式】

　　一个整数，表示日运费的最小值。

【输入样例】

5
1 2
3 2
2 6
1 3
2 2

【输入样例解释】
　　样例给出的图形如下，其中黑色数字表示城市编号，括号里的蓝色数字表示该城市的消费，红色数字表示相邻城市之间的距离。
　　　　　
　　　　　

【输出样例】

21

【输出样例解释】
　　酒店可建设在城市1、城市2、城市3、城市4、城市5的日运送费用计算如下表：

　　所以，酒厂建在城市2时，日运送费用最少，为21。

【数据范围】

　　对于50%的数据有：5<=N<=5000
　　对于100%的数据有：5<=N<=100000，环岛高速的总长不超过1000000千米。每座城市的日消费量不超过1000桶。

很容易看出这是一道中位数的题，我们也容易想到要破环，但重点就在于不能超时（所以不能用暴力）。我们会发现每次破环后，中位数是只往后退，不会前进的（毕竟前面的少了，后面的多了），所以我们可以直接看它需要往后退多少。
然后就需要一下计算了，详见代码注释：

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int maxn=200005;const int inf=1000000000;int a[maxn],n,d[maxn],totd=0,tota=0,g[maxn];int read(){    int x=0,ok=0;    char ch;    ch=getchar();    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();    while((ch>='0'&&ch<='9')||ch=='-')    {        if(ch=='-') ok=1;        else x=x*10+ch-'0';        ch=getchar();    }    return ok==1?-x:x;}void init(){    n=read();    d[1]=0;    g[0]=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        a[i]=read();        g[i]=g[i-1]+a[i];//酒的前缀和。        tota+=a[i];        d[i+1]=read()+d[i];//距离(1为起点）。    }    totd=d[n+1];    for(int i=1;i<=n;i++)    {        a[i+n]=a[i];        d[n+i]=d[i]+totd;        g[i+n]=g[i+n-1]+a[i];    }}int main(){    //freopen("winery.in","r",stdin);    //freopen("winery.out","w",stdout);    init();    long long ans=100000000000000ll,q=0;    int t=1;//先假设中位数是1.    for(int i=1;i<=n;i++)    {        int k=0;        while(g[t+k]-g[i-1]<tota-(g[t+k]-g[i-1])) k++;//看要退几个.        if(i==1)        {            for(int j=1;j<=n;j++)            q+=a[j]*abs(d[k+t]-d[j]);//第一次需要暴力算花费。        }        if(i>1)        {            q-=(d[t]-d[i-1])*a[i-1];//减去这次去掉的点的花费。            q-=(tota-(g[t+k-1]-g[i-2]))*(d[t+k]-d[t]);//中位数以后的点比之前要少的花费（不算多加的点）。            for(int p=1;p<k;p++)//2次中位数直接的点的花费（重新算）。            {                q-=a[t+p]*(d[t+p]-d[t]);                q+=a[t+p]*(d[t+k]-d[t+p]);            }            q+=(d[t+k]-d[t])*(g[t]-g[i-1]);//上一个中位数之前的点多的花费（不算去掉的点）。            q+=(d[i-1+n]-d[t+k])*a[i-1];//多的那个点的花费.        }        ans=min(ans,q);        t=t+k;    }    cout<<ans;    return 0;}