偏序关系和Dilworth定理(poj 1548)

偏序关系

集合 P上的关系 R 称为 P上的偏序关系，当且仅当 R是自反的、反对称的和传递的。

Ⅰ  自反性：对任意x∈A，有xRx；

Ⅱ 反对称性（即反对称关系）：对任意x,y∈A，若xRy，且yRx，则x=y；

Ⅲ 传递性：对任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，则xRz。

则称R为A上的偏序关系，通常记作≼

哈斯图

对于给定的<A,≼>，常利用盖住关系作哈斯图，其作图规则：

Ⅰ用圆圈表示元素

Ⅱ若x≼y , 且（x ！= y） ，则把代表y的小圆圈画在代表x的小圆圈之上

Ⅲ 若x ,y ∈COVA ，  则x,y用直线连接。其中  COVA = { <x ,y> | x,y∈A  , y 盖住 x  ，即不存在 z  st  x ≼ z , z ≼ y };

链 ：

设<A,≼>是一个偏序集 ， 在A的一个子集中， 如果每两个元素都是有关系的，则称这个子集是链 ；

反链 ：

在A的一个子集中， 如果每两个元素都是没有关系的，则称这个子集是反链

链和反链可以从哈斯图中直观看出。

相关定理

定理1 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。

 Dilworth定理：
定理2 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。

链就是从纵向的角度看 哈斯图 ,反链是从横向的角度看 哈斯图。

定理1，就是至少有r行构成反链关系。

定理2，就是至少有m列构成链关系。

Dilworth定理应用

POJ 1548

题意 ：给出一个矩阵，从最左上点到最右下点走，并且只能往下走和往右走，在矩阵中的一些格子中有含有一个‘G’，问最少从最左上到最右下走多少次，能把所有的G都走到

求一次非往下走和往右走的最长子序列

#include <stdio.h>#include <algorithm>#include <string>#include <string.h>#include <vector>#include <bits/stdc++.h>using namespace std ;const int maxn = 1005 ;int d[maxn] ;struct litter{    int x , y ;}; bool cmp (const litter &a , const litter &b){    if(a.x == b.x) return a.y < b.y ;     else  return a.x < b.x ;} bool operator > (const litter &a , const litter &b){      return !(a.x <= b.x && a.y <= b.y) ;}vector <litter> p ;int main(){  // freopen("a.txt" , "r" , stdin) ;   litter t ;   int sum ;   while( scanf("%d%d" , &t.x , &t.y) != EOF)   {       if(t.x == -1 && t.y == -1) break ;       p.clear() ;       p.push_back(t) ;       while(scanf("%d%d" , &t.x , &t.y), t.x && t.y)       {           p.push_back(t) ;       }       sort(p.begin(), p.end() , cmp) ;       sum = -1 ;       for(int i = 0 ; i < p.size() ; i ++)       {<span><span class="comment">  //动态规划求解p数组的最长降序子序列的长度</span><span> </span></span>           d[i] = 1 ;           for(int j = 0 ; j < i ; j ++)           {               if(d[j] + 1 > d[i] && p[j] > p[i])                 d[i] = d[j] + 1 ;           }           sum = max(sum , d[i]) ;       }       printf("%d\n" , sum) ;   }   return 0 ;}