傅立叶分析导论-4 Some Applications of Fourier Series

2 Weyl’s equidistribution theorem

example1的证明
令ai={0,j/i}，其中i=1,2,...,j=1,...,i−1，那么bi为把ai展开，那么需要证明∑#{ai∈(a,b)}N→(b−a)，那么分几个步骤证明：
1
对于任意ε，存在N，满足n>N则(b−a−ε)≤∑#{{ai}n∈(a,b)}n≤(b−a)

2
如果y−ε≤ba≤y，那么对于任意c，存在足够大的n，只要n>c(y−2ε)b−a(y−2ε)，就有y−2ε≤nbna+c≤y

3上述2中令c=∑N1{ai}即可得出结论

5 Exercises

1.
(a) ->
∫sa|γ′(t)|dt=∫sadt=s−a
<-
根据中值定理，∫s+δs|γ′(t)|dt=δ|γ′(y)|=δ，其中s≤y≤s+δ，δ→0即可得出结论。
(b)
根据提示γ′=η′h′
由于(∫xaf(t)dt)′=f(x)
所以|γ′|=|η′||η′|=1

2.
(a)
∫bax(s)y′(s)ds=xy|ba−∫bay(s)x′(s)ds=−∫bay(s)x′(s)ds，因为x(a)=x(b)，y(a)=y(b)，最后一个等式证明完成
第一个等式根据上式容易得出。
(b)
∫γ−xdy=∫abx(b+a−t)dy(b+a−t)，令b+a-t=s，则等于∫abx(s)y′(s)ds=−∫bax(s)y′(s)ds=−∫γxdy

3
根据积分作为面积的定义，得出等式左边
而书中说面积等于∫00y(x)x′dx=∫10y(x)dx=∫10fdx+∫01gdx=左边

4
看懂这道题费了很大劲，命题是两个命题等价：
(1) Theorem 1.1中 simple curve去掉
(2) 第3章练习11的不等式和等号成立条件
提示中第一步 (1)->(2)
提示中的等式把右边展开很容易得到，根据等周问题，π−A≥0，那么由于右边第一项可能为0，所以第二项必须大于等于0，也就是Wirtinger’s inequality，等号成立的条件是等周问题等号成立的条件。∫y(s)ds如果不等于0，平移相应值即可让其积分为0

第二步(2)->(1)
上面式子中假定y(s)满足Wirtinger’s inequality，那么等周问题可以得出，等号成立的条件是Wirtinger’s inequality中等号成立，同时x′(s)=y(s)

5

6
这道题其实比较简单，如果自己做，不看提示，或者只看提示的最后部分：对于任意N，必然N=lq+r，然后得出#N=lN或者l+1N，折就是结论。提示的前面部分是给这个证明一个严格的表述，因为上面N=lq+r虽然是显然的，但是严格表述却比较困难。

7
感觉书中一个方向已经被证明也不对啊，根本没证明啊，weyl’s criterion应该是用Riemann integral criterion证明，维基百科有，还是比较简单的。

8
不会
9
不会
10
不会
11 根据书中提示，使用parseval identity，左边等于
∫u2+∫f2+∫fu=∑a2n(1−e−rπ2n2)2
当t→0，等于0，因为∑a2n有界

12
这道题就是说明，没有要做的

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