傅立叶分析导论-附录

这个附录并不是很好懂，做些笔记，以便下次看不懂了

1 Definition of the Riemann integral

1.1 Basic properties

Lemma1.2证明的关键是把[xj−1,xj]分为两种：
一种是supf(x)−inff(x)<δ，这样根据连续性，这部分贡献的和小于ε(b−a)
一种是supf(x)−inff(x)≥δ，这种根据f的黎曼可积性，得出在[a,b]中的长度和不会超过δ。
上面证明中δ和ε的关系为δ可以任意小，选定以后一定可以找到合适的ε，如果ε>δ，那么证明完成，否则，可以取δ=ε，整个证明过程同样成立。

1.2 Sets of measure zero
Theorem 1.7 Lemma1.8都容易理解
后面的证明过程类似Lemma1.2，也是把整个区间分成两部分，对于选定任意小的ε，首先选择能覆盖Aε的开区间集合，根据measure0的定义，这部分集合长度和可以小于ε，而对于剩余的部分，有osc(f,c)≤ε，由于compact特性，必然可以被有限个I(c,r)覆盖，所以和必然小于ε(b−a)

反过来的证明首先任意选定n，那么A1/nsupf(x)−inff(x)≥1/n，根据f黎曼可积性，这部分measure可以任意小，也就是measure为0