BestCoder Round #85-1005 gcd

来源：互联网发布：python marionette 编辑：程序博客网时间：2024/05/22 10:43

官方题解：首先有等式( ${x}^{a}-1$ , ${x}^{b}-1$ )= ${x}^{gcd(a,b)}-1$ 成立，相当于计算 $\sum \sum {x}^{gcd(a,b)}-1$ 。记s[d]=最大公约数为d的对数，答案 $\sum s[d]*({x}^{d}-1)$ . 先用筛法计算出欧拉函数。把正方形分成上三角和下三角计算，最大公约数为d的数量s[d]=2*(phi[1]+phi[2]+...+phi[n/d])-1,对欧拉函数求一个前缀和，直接枚举最大公约数d复杂度为O（n）。观察s[d]计算公式，可以发现对不同的d，若n/d相同，s[d]不发生变化。根据s[d]分段计算，相同的一段的 ${x}^{d}-1$ 可以用等比公式求。复杂度为（ $n+T\sqrt{n}logn$ )

并没有理解分段计算的复杂度。。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <algorithm>#include <vector>using namespace std;typedef long long LL;const int N=1000000+10;const int M=1000000007;int p[N],phi[N];LL x,n;void getp(){    for (int i=1;i<N;i++)phi[i]=i,p[i]=0;    for (int i=2;i<N;i++)if (!p[i]){        for (int j=i;j<N;j+=i)p[j]=1,phi[j]=phi[j]/i*(i-1);    }    for (int i=2;i<N;i++)phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%M;    for (int i=2;i<N;i++)phi[i]=(phi[i]*2-1)%M;}LL RP(LL a,LL b){    LL Ans=1;    for (;b;b>>=1){        if (b&1)Ans=Ans*a%M;        a=a*a%M;    }    return Ans;}LL Calc(LL x,LL d,LL nd){    LL t1=RP(x,d);    LL t2=RP(x,nd-d+1);    LL t3=RP(x-1,M-2);    return t1*(t2-1+M)%M*t3%M;}void work(){    cin>>x>>n;    if (x==1){        puts("0");        return ;    }    int Ans=0;    for (int d=1;d<=n;){        int u=n/d;        int nd=n/u;        Ans=(1LL*Ans+1LL*Calc(x,d,nd)*phi[u]%M)%M;        d=nd+1;    }    Ans=(1LL*Ans-n*n)%M;    if (Ans<0)Ans+=M;    cout<<Ans<<endl;}int main(){    getp();    int Case;scanf("%d",&Case);    while (Case--)work();    return 0;}

0 0