Google 2016 面试题5 | 岛屿计数2

题目描述

给出一个m行n列的网格地图，每个位置为0或1，0表示海水1表示陆地。一开始地图全为0（没有陆地）。每次在一个位置加入一块陆地，返回此时地图中陆地的总块数（相邻陆地统计时为同一块陆地）。
Example:
操作#1: addLand(0, 0) turns the water at grid[0][0] into a land.

操作#2: addLand(0, 1) turns the water at grid[0][1] into a land.

操作#3: addLand(1, 2) turns the water at grid[1][2] into a land.

操作#4: addLand(2, 1) turns the water at grid[2][1] into a land.

返回答案数组: [1, 1, 2, 3]
你可以做到复杂度O(k log mn)吗？其中k为操作次数。

分析解答

对于一个静态的地图，统计岛屿个数可以使用dfs（类似于寻找一个图中的连通块个数），算法复杂度是O(m*n)。但是对于一个不断更新的地图，如果我们每次重新统计连通块个数，复杂度为O(m*n*k)，其中k为总操作个数。考虑到每次只有一个位置发生变化（从0变为1），完全不必重新统一，该陆地的产生职能影响周围四个位置。假设该陆地周围有t（p至多为4）个不连通的岛屿，那么该陆地为把这四个不同点岛屿合并为一个岛屿，使得总岛屿数下降t-1个。因此我们需要维护岛屿之间的连通性，自然的我们想到了并查集。并查集是一种解决此类问题的强力数据结构，以此题为例，初始时每个位置都是独立的、互不连通的，每个位置都有一个标签来identify自己，记录在fa数组中，fa[i]为i。当两个位置p、q相邻且都为1时，这两个位置需要统一它们的标签（表示这两个岛屿合并），即fa[p] = q。但是p、q的标签可能已经被修改，因此我们需要通过getfather函数递归找到它们的真实标签（getfather(i)的返回值也称为i的祖先），合并操作变为fa[getfather(p)] = getfather(q)。为了防止最坏情况下每次调用getfather函数都要经过m*n次递归，我们可以采用路径压缩的方法（详见代码中getfather函数），使得每个位置到其祖先的距离始终为一个很小的常数（与m、n无关）。本题中总体时间复杂度为O(m*n+k)，其中每次并查集的查询复杂度为一个常数（不超过4）。

参考代码

class Solution {public:    vector<int> numIslands2(int m, int n, vector<vector<int> >& positions) {        bool land[m][n];        int dr[4] = {1, 0, -1, 0};        int dc[4] = {0, -1, 0, 1};        int fa[m * n];        int island = 0;        vector<int> ret;        // initialization        memset(land, 0, sizeof(land));        for (int i=0; i<m*n; i++)            fa[i] = i;        for (int i=0; i<positions.size(); i++) {            island++;            int x = positions[i][0], y = positions[i][1];            int f = x * n + y;            land[x][y] = true;            for (int j=0; j<4; j++) {   // 4 direction check                int tx = x + dr[j];                int ty = y + dc[j];                if (tx >=0 && tx < m && ty >= 0 && ty < n &&                    land[tx][ty] && getfather(fa, tx*n+ty) != f) {                    fa[getfather(fa, tx*n+ty)] = f;                    island--;                }            }            ret.push_back(island);        }        return ret;    }    // disjoint-set and path compression    int getfather(int fa[], int i) {        if (fa[i] == i) return i;        return fa[i] = getfather(fa, fa[i]);    }};