二分查找

升序序列的二分查找：

int bsearchWithoutRecursion(int array[], int low, int high, int target){    while(low <= high)    {        int mid = (low + high)/2;        if (array[mid] > target)            high = mid - 1;        else if (array[mid] < target)            low = mid + 1;        else //find the target            return mid;    }    //the array does not contain the target    return -1;}

降序序列的二分查找：

int bsearchWithoutRecursion(int array[], int low, int high, int target){    while(low <= high)    {        int mid = (low + high)/2;        if (array[mid] < target)            high = mid - 1;        else if (array[mid] > target)            low = mid + 1;        else //find the target            return mid;    }    //the array does not contain the target    return -1;}

问题2描述

给一个有N个互不相同的元素的已排序数组，返回小于或等于给定key的最大元素 例如输入为 A = {-1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10}   key = 7,应该返回6.

分析：

我们可以用上面的优化方案，还是保持一个恒等式，然后移动 左右两个指针。最终 left指针会指向 小于或等于给定key的最大元素(根据恒等式A[l] <= key and A[r] > key)。

- > 如果数组中所有元素都小于key，左边的指针left 会一直移动到最后一个元素。

- > 如果数组中所有元素都大于key，这是一个错误条件，无答案。

- > 如果数组中的所有元素都 <= key，这是最坏的情况根据下面的实现

代码：

// 循环不变式: A[l] <= key and A[r] > key// 边界条件: |r - l| = 1// 输入: A[l .... r-1]// 先决条件: A[l] <= key <= A[r]int Floor(int A[], int l, int r, int key){    int m;    while( r - l > 1 )    {        m = l + (r - l)/2;        if( A[m] <= key )            l = m;        else            r = m;    }    return A[l];}// 初始调用int Floor(int A[], int size, int key){    // 如果 key < A[0] 不符合条件    if( key < A[0] )      return -1;    return Floor(A, 0, size, key);}

这个函数在C++的STL里面有实现 :  lower_bound 函数

问题3描述

给一个有重复元素的已排序数组，找出给定的元素key出现的次数，时间复杂度要求为logN.

分析

其实可以对上面的程序稍作修改，思路就是分别找出key 第一次出现的位置和最后一次出现的位置。

// 输入: 数组区间 [l ... r)// 循环不变式: A[l] <= key and A[r] > keyint GetRightPosition(int A[], int l, int r, int key){    int m;    while( r - l > 1 )    {        m = l + (r - l)/2;        if( A[m] <= key )            l = m;        else            r = m;    }    return l;}// 输入: 数组区间 (l ... r]// 恒等式: A[r] >= key and A[l] > keyint GetLeftPosition(int A[], int l, int r, int key){    int m;    while( r - l > 1 )    {        m = l + (r - l)/2;        if( A[m] >= key )            r = m;        else            l = m;    }    return r;}int CountOccurances(int A[], int size, int key){    // 找出边界    int left = GetLeftPosition(A, -1, size-1, key);    int right = GetRightPosition(A, 0, size, key);    // key有可能不存在，需要判断    return (A[left] == key && key == A[right])?(right - left + 1) : 0;}

问题4描述

有一个已排序的数组（无相同元素）在未知的位置进行了旋转操作，找出在新数组中的最小元素所在的位置。

例如：原数组 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， 旋转后的数组可能是 {6,7,8,9,10, 1,2,3,4,5 }，也可能是 {8,9,10,1,2,3,4,5,6,7 }

分析：

我们不断的缩小 l 左指针和 r 右指针直到有一个元素。把上面划横线的作为第一部分，剩下的为第二部分。如果中间位置m落在第一部分，即A[m] < A[r] 不成立，我们排序掉区间 A[m+1 ... r]。 如果中间位置m落在第二部分，即 A[m]<A[r]成立，我们缩小区间至 A[m+1 .... r ]。 直到搜索的区间大小为1就结束。

int BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(int A[], int l, int r){    int m;    // 先决条件: A[l] > A[r]    if( A[l] <= A[r] )        return l;    while( l <= r )    {        //终止条件        if( l == r )            return l;        m = l + (r-l)/2; // 'm' 可以落在第一部分或第二部分        if( A[m] < A[r] )            // (m < i <= r),可以排除 A[m+1 ... r]            r = m;        else            // min肯定在区间 (m < i <= r),           // 缩小区间至 A[m+1 ... r]            l = m+1;    }    return -1;}int BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(int A[], int size){    return BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(A, 0, size-1);}