求最长上升/下降子序列【O（nlgn）】

来源：互联网发布：linux下php言编程ide 编辑：程序博客网时间：2024/05/03 22:47

以最长上升子序列为例，例如给定数组：1，5，8，3，6，7，则最长上升子序列个数是4，也就是1,5,6,7或者是1,3,6,7。

对于这样的问题，我们很容易想到n*n复杂度的DP，但是这里再介绍另一种方法，时间复杂度可以降为n*lgn。

这个算法的具体操作如下：
开一个栈，每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较，如果temp > top 则将temp入栈；如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数，并用temp替换它。最长序列长度即为栈的大小top。
这也是很好理解的，对于x和y，如果x < y且Stack[y] < Stack[x],用Stack[x]替换Stack[y]，此时的最长序列长度没有改变但序列Q的''潜力''增大了。

举例：原序列为1，5，8，3，6，7。
栈为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8；再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。
我想，当出现1，5，8，2这种情况时，栈内最后的数是1，2，8不是正确的序列啊？难道错了？
分析一下，我们可以看出，虽然有些时候这样得不到正确的序列了，但最后算出来的个数是没错的，为什么呢？
想想，当temp>top时，总个数直接加1，这肯定没错;但当temp<top时呢？这时temp肯定只是替换了栈里面的某一个元素，所以大小不变，就是说一个小于栈顶的元素加入时，总个数不变。这两种情况的分析可以看出，如果只求个数的话，这个算法比较高效。但如果要求打印出序列时，就只能用DP了。

附完整代码求解最长上升子序列：

#define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE #include<iostream>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;int a[100005];int s[100005];int top;int t;int n;void func(){top = 0;for (int i = 0; i < n; i++){int pos = upper_bound(s, s + top, a[i]) - s;s[pos] = a[i];top = max(top, pos + 1);}//top值即为所求}int main(){return 0;}

参考http://www.cnblogs.com/dartagnan/archive/2011/08/29/2158247.html

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