数学 ( 错排问题 )——HUD 2048

• 题目链接：
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2048

• 分析：
  这是一道错排问题，属于组合数学中的问题之一。

  若一个排列中所有的元素都不再自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。n个元素的错排数记为D(n)。

  错排公式：

  1. 把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

  2. 放编号为k的元素，这时有两种情况：
     ⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；
     ⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

  3. 综上得到：D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]，特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.
     D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].

  4. 概率公式为： N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!

  用容斥原理推导错排公式：

  正整数1, 2, 3, ……, n的全排列有 n! 种，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种；当k分别取1, 2, 3, ……, n时，共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的，由于所求的是错排的种数，所以应当减去这些排列；但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为
  D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1）^n*n!/n! = ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!,
  即D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + … + (-1)^n/n!].
  其中，∑表示连加符号，k=2~n是连加的范围；0! = 1，可以和1!相消。

• AC代码：

#include <iostream>using namespace std;int C;int n;__int64 f[25];void init(){    f[1] = f[0] = 0;    f[2] = 1;     for(int i=3;i<25;i++)    {        f[i]=(i-1)*f[i-1]+(i-1)*f[i-2];    }}int main(){    scanf("%d", &C);    init();    while(C--)    {        scanf("%d", &n);        __int64 sum=1;        for(int i=1;i<=n;i++)            sum*=i;        double ans = (double) f[n]*100/sum;        printf("%.2lf%%\n", ans);    }    return 0;}