教你一波Lucas(卢卡斯)定理在数论解题中的应用
来源:互联网 发布:数据科学家养成手册 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 17:00
首先,Lucas(卢卡斯)定理是什么?有什么用?
Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p,p为素数的值。(注意:p一定是素数)
有人会想,C(n,m)不能用C(n, m) = C(n - 1,m) + C(n - 1, m - 1)的公式来递推吗?
( 提示:C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p )
可以是可以。但当n,m,p都很大时,你递推所用的时间就会很爆炸了。所以,这就需要用到Lucas定理来解决了。
因此,Lucas定理用来解决大组合数求模是很有用的。
注意:Lucas定理最大的数据处理能力是p在10^5左右,不能再大了。再大的话,我就不知道了。。。智障啊
表达式:C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p。(可以递归)
递归方程:(C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p。(递归出口为m==0,return 1)
-----------------------------------------------------------------------
Lucas定理定义::
这里我们令n=sp+q , m=tp+r .(q ,r ≤p)
那么:
(在编程时你只要继续对 调用Lucas定理即可。)
(代码可以递归的去完成这个过程,其中递归终点为t = 0 )
(时间复杂度O(logp(n)*p):)
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Lucas定理证明:
首先你需要这个算式:,其中f > 0&& f < p。
然后(1 + x) nΞ(1 + x) sp+q Ξ( (1 + x)p)s· (1 + x) q Ξ(1 + xp) s· (1 + x) q(mod p) 。
所以得(1 + x) sp+q
我们求右边的 的系数为:
求左边的 为:
通过观察你会发现当且仅当i = t , j = r ,能够得到的系数,及。
所以,。得证。
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我再次将它公式化一下。
For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relation holds:
where
and
are the base p expansions of m and n respectively.
已知C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。显然是除法取模,这里又要用到m!(n-m)!的逆元。
求逆元(此处不详细说明了(ˇˍˇ) )。。。
根据费马小定理(点我):
已知(a, p) = 1,则 ap-1 ≡ 1 (mod p), 所以 a*ap-2 ≡ 1 (mod p)。
也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)p-2 。
参考代码:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N =1e5;ll n, m, p, fac[N];void init(){ int i; fac[0] =1; for(i =1; i <= p; i++) fac[i] = fac[i-1]*i % p;}ll q_pow(ll a, ll b){ ll ans =1; while(b) { if(b &1) ans = ans * a % p; b>>=1; a = a*a % p; } return ans;}ll C(ll n, ll m){ if(m > n) return 0; return fac[n]*q_pow(fac[m]*fac[n-m], p-2) % p;}ll Lucas(ll n, ll m ){ if(m ==0) return 1; else return (C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p;}int main(){ int t; scanf("%d", &t); while(t--) { scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p); init(); printf("%I64d\n", Lucas(n, m)); } return 0;}
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