数论-Lucas（卢卡斯定理）

Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。

对于C(n, m) mod p。这里的n，m，p（p为素数）都很大的情况。就不能再用C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1)的公式递推了。

应用：大组合数求模

表达式

C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

求C(n, m) mod 10007

/*int Lucas (ll n , ll m , int p) {  return m == 0 ? 1 : 1ll*comb (n%p , m%p , p) * Lucas (n/p,m/p,p)%p ;}*///comb()函数中，因为q ， r < p , 所以这部分暴力完成即可。//C++求C(n, m) mod 10007    版本二 要求p z在100000左右ll f[N];void init(int p) {       //f[n] = n!    f[0] = 1;    for (int i=1; i<=p; ++i) f[i] = f[i-1] * i % p;} ll pow_mod(ll a, ll x, int p){    ll ret = 1;    while (x)        {        if (x & 1)  ret = ret * a % p;        a = a * a % p;        x >>= 1;    }    return ret;}  ll Lucas(ll n, ll k, int p)        //C (n, k) % p{     ll ret = 1;     while (n && k)         {        ll nn = n % p, kk = k % p;        if (nn < kk) return 0;  //inv (f[kk]) = f[kk] ^ (p - 2) % p        ret = ret * f[nn] * pow_mod (f[kk] * f[nn-kk] % p, p - 2, p) % p;        n /= p, k /= p;     }     return ret;}int main(void){    init (p);    printf ("%I64d\n", Lucas (n, m, p));    return 0;}

也可以采用下面的方法，先把mod的阶乘存起来：

void init(int mod){                         //对mod取余后，一定小于mod，因此把mod的阶乘存起来就够用f[0] = 1;for(int i = 1 ; i <= mod ;i ++ ){f[i] = f[i-1] * i % mod;}}void ex_gcd(LL a,LL b,LL& d,LL& x,LL& y){    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }    else{ ex_gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }}LL inv(LL a,LL m)               //欧几里得逆元，也可以费马小定理{    LL d, x, y;    ex_gcd(a, m, d, x, y);    return d == 1 ? (x+m)%m : -1;}LL Lucas(LL m , LL n , LL p){LL  res = 1;while(n && m){LL n1 = n % p ;LL m1 = m % p ;res = res * f[n1] * inv(f[n1-m1],p) * inv(f[m1],p)%p;n /= p;m /= p;}return ( res % p + p ) % p;}