斐波那契博弈
来源:互联网 发布:ubuntu selinux 状态 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 09:46
原文链接:http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7835016
引用:http://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/7602807
有一堆个数为n的石子,游戏双方轮流取石子,满足:
1)先手不能在第一次把所有的石子取完;
2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间(包含1和对手刚取的石子数的2倍)。
约定取走最后一个石子的人为赢家,求必败态。
这个和之前的Wythoff’s Game 和取石子游戏 有一个很大的不同点,就是游戏规则的动态化。之前的规则中,每次可以取的石子的策略集合是基本固定的,但是这次有规则2:一方每次可以取的石子数依赖于对手刚才取的石子数。
这个游戏叫做Fibonacci Nim,肯定和Fibonacci数列:f[n]:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的关系。如果试验一番之后,可以猜测:先手胜当且仅当n不是Fibonacci数。换句话说,必败态构成Fibonacci数列。
就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”来帮忙一样,这里需要借助“Zeckendorf定理”(齐肯多夫定理):任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。
先看看FIB数列的必败证明:
1、当i=2时,先手只能取1颗,显然必败,结论成立。
2、假设当i<=k时,结论成立。
则当i=k+1时,f[i] = f[k]+f[k-1]。
则我们可以把这一堆石子看成两堆,简称k堆和k-1堆。
(一定可以看成两堆,因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1],则后手可以直接取完f[k],因为f[k] < 2*f[k-1])
对于k-1堆,由假设可知,不论先手怎样取,后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。
如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3,则这小堆所剩的石子数小于2y,即后手可以直接取完,此时x=f[k-1]-y,则x<=2/3*f[k-1]。
我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小,由数学归纳法不难得出,后者大。
所以我们得到,x<1/2*f[k]。
即后手取完k-1堆后,先手不能一下取完k堆,所以游戏规则没有改变,则由假设可知,对于k堆,后手仍能取到最后一颗,所以后手必胜。
即i=k+1时,结论依然成立。
对于不是FIB数,首先进行分解。
分解的时候,要取尽量大的Fibonacci数。
比如分解85:85在55和89之间,于是可以写成85=55+30,然后继续分解30,30在21和34之间,所以可以写成30=21+9,
依此类推,最后分解成85=55+21+8+1。
则我们可以把n写成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。(a1>a2>……>ap)
我们令先手先取完f[ap],即最小的这一堆。由于各个f之间不连续,则a(p-1) > ap + 1,则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆,且不能一次取完。
此时后手相当于面临这个子游戏(只有f[a(p-1)]这一堆石子,且后手先取)的必败态,即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。
同理可知,对于以后的每一堆,先手都可以取到这一堆的最后一颗石子,从而获得游戏的胜利。
例:HDU 2516明显的FIB博弈模型
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#include<vector>#include<string>#include<map>#define LL long long#define N 1000000#define inf 1<<20using namespace std;int fib[50];int main(){fib[0]=1;fib[1]=2;for(int i=2;i<45;i++)fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n){int i=0;for(i=0;i<45;i++)if(fib[i]==n)break;if(i<45)puts("Second win");elseputs("First win");}return 0;}
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