Leecode题集——sqrtx

Implementint sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

直接遍历会超时，有两种方法：一是二分查找法，二是牛顿迭代法。

方法一、二分查找法

int sqrt(int x){ //鲁棒性检查，不合理输入    if(x<0)       return -1;    if(x==0)       return 0; //确定搜索范围            long long i=0;     long long j=x/2+1;     while(i<=j)     {       long long mid=(i+j)/2;       long long sq=mid*mid;       if(sq<x)           i=mid+1;       else if(sq>x)           j=mid-1;       else           return mid;    }             return j;}

方法二、牛顿迭代法

为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如右图所示。

   首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。

   同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。

   以此类推。

   以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(x_i)的值判断是否为0，二是判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。

 

经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

 int sqrt(int x) {        if(x<0)            return -1;        if(x==0)            return 0;                double last=0;        double res=1;        while(last!=res)        {          last=res;          res=(res+x/res)/2;        }        return (int)res; }

当输入为double类型时，

double sqrt(double x){  if(x=0.0)    return 0.0;  double last=0.0;  double res=1.0;    while(last!=res)  {    last=res;    res=(res+x/res)/2;  }  return res;}