【转载】最小生成树

首先给定一个连通图P={V,E}，其中V是点集，E是边集。那么，最小生成树就是一个图P'={V,E'}，使得P'是联通的，而且：E'上每一条边的边的权值之和最小。也就是说最小。

 最小生成树有着很广泛的应用。比如说有若干个点，然后我们需要将这些点用最小的费用连接起来，比如说网线的连接，每一条网线的铺设费用就是相应的边权，那么我们做一个最小生成树就可以选择若干条边，将这个网线的系统连通。

但是，其实为什么一定是最小生成树呢？假设我们现在有一个所谓的“生成子图”，然后这个子图上有一个环，由于是一个无向图，那么我们只需要将这个环上费用最大的边删去，那么仍然这个图还是联通的，而权值却减少了。所以说，这个生成子图如果是最小的，那么一定不能有环，又因为整个图是联通的，且包含了所有原来的点，那么就只能是一棵树了。

通过上面的这个过程，我们很容易就能够想到一个生成最小生成树的算法：将所有的环中权值最大的边给删掉，最后剩下来的无向无环图的就是相应的最小生成树。这个算法其实利用了一个最小生成树的性质：环性质。就是说，如果某一条边在一个环上，而且是这个环上权值最大的一条边，那么它一定不在这个图的所有最小生成树上。通过刚才的论断，我们很轻易地就证明了这一点。因为这一条边没有意义去选嘛！

那么，我们下面来介绍以这个原理为基础的一个算法：Kruskal算法。首先，将每一条边按从小到大的顺序排序，然后不断加入从小到大的每一条边，并维护连通性，如果某一条边所连接的两个点本身在一个联通的集合上，那么就不加这一条边了。加了这一条边就合并两个联通的集合。而最后剩下来的已经加的那一些边，就构成了最小生成树。

其中，连通性很容易想到用并查集去维护，加上排序的复杂度，大概是O(|E|log2|E|+α*|V|)的复杂度。但是实际上这个时间复杂度并不优秀，比如说|E|=|V|^2的时候，光是排序就要花去很多时间了，超过了O(|V|^2)了！不过一般来说并不会那么差，整体而言还是挺好写的，代码也比较短小精悍。

下面给出Kruskal最小生成树算法的证明：首先，最后的图P'必然是联通的。因为算法中不加边有且只有一种情况，那就是这条边的加入已经没有意义了，其所连接的两个点的集合已经连通了。那么这样加下去的话，如果P‘不连通，那么也只有P不连通了，不满足最初的假设。其次，如果加某一边进去构成了环的话，那么这一条“最后加入的边”根据排序，我们也可以马上知道这条最后加入的边的权值是最大的。根据环性质，我们就会将其删去。那么倒过来看也是一样的，我们不加这条边了，同样其实也是删去。所以说算法的正确性得到了充分的保证。

那么，如果|V|比较大，比如说达到了1000，那么就很有可能超时了。所以说我们需要另外的一种算法：Prim算法。

Prim算法主要是这样的：首先，将当前的点集合V'设为随意的一个点uV，然后不断地循环，每一次都选一条边，使得这条边权值最小，而且这条边e={u,v}，使得uV’且vV‘。也就是说，选择只有一个端点在V'中的一条权值最小的边，以扩展这个点集V'。

下面给出一种可能的实现，比如说对于|E|=|V|^2的情况，我们可以对于每一个uV‘，记录其的最近点vV’，然后每更改一个点，就再|V|^2地更新每一个点u的最近点v。不过我们很容易看出这里有很多的重复运算，比如说每一次我们新选一条边{u,v}，那么其实我们涉及到的只有u和v，其他点并没有改变。那么，我们在添加一条边{u,v}的时候，我们只需要对于点集的列表V中的每一个uV’，比较其曾经的最近点vV'和添加的边{u,v}中的v那个更近即可。

这样的话，效率更高，时间复杂度为O(|V|^2)，对于稠密图提高不少。

对于稀疏图而言，我们可以尝试用高级数据结构优化。我们只需要找到一个数据结构，使其支持加入一个数，取最小值和删除最小值之类。可以用堆优化（或者说优先队列、线段树、二叉排序树、甚至是单调队列？）。比如说优先队列，每一次加的时候就将新的扩展边放进去，然后每一次查询新的最小边并将其删除，最后一点一点地扩展，直至全图即可。在这里注意要用边权作为优先级。

证明的话，倒也不算很难。比如说我们扩展使用的是边(u,v)，其中当前集合为S，uS，vS，而且(u,v)是连接S和V-S的最小权值的边。那么我们现在设定一棵最小生成树T，使得(u,v)T，那么我们来证明一下，T可以通过交换变成T'，而不会更差。显然，因为T是生成树，所以必然存在一条边(u',v')，连接S和V-S。同时，因为T是生成树，那么S和V-S都是生成树。那么因为(u,v)不会比(u',v')更贵，所以说我们可以用(u,v)来代替(u',v')。由前面的结果，S和V-S都是生成树，那么u和u'都可以互通，v和v'也可以互通，而原来的(u',v')也就可以在不影响其他的边的情况下，转换成(u,v)而仍然保持生成树的联通性质。那么因为(u',v')连接S和V-S，用(u,v)代替(u',v')，替换出来的T'的费用，因为(u,v)是最便宜的连接S和V-S的边，所以说不可能有另外一条边比它更便宜（即比(u,v)更优）。因此，T'的费用一定不会比T要好！

这样的话，就可以证明Prim算法的正确性了。因为每一次都是选的S“外围”的最小费用边，所以说根据我们刚才证明的性质，Prim是正确的。刚才的性质好像叫做割性质。

最小生成树主要用于确保图联通而且所使用的费用最小时。在图论之中有着许多的应用！

最后，给出两个代码，首先是Kruskal算法，用于稀疏图：

# include <algorithm>
# include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 10000;
const int MAXM = 100000;
struct Edge{
int u;
int v;
int value;
bool operator<(const Edge& x) const{
return this -> value < x.value;
}
};

Edge e[MAXM];
int father[MAXN];

int find_root(int x){
return father[x] = (father[x] == x ? x : find_root(father[x]));
}

inline void union_set(int s1,int s2){
father[find_root(s1)] = find_root(s2);
}

int main(){
int Ans = 0;
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=0;i<n;++i) father[i] = i;
for (int i=0;i<m;++i){
scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].value);
--e[i].u; --e[i].v;
}
sort(e+0,e+m);
for (int i=0;i<m;++i){
if (find_root(e[i].u) != find_root(e[i].v)){
union_set(e[i].u,e[i].v);
Ans += e[i].value;
}
}
printf("%d\n",Ans);
}

接着是Prim算法的O(n^2)算法，用于稠密图：

# include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 5010;
const int INF = 10000000;
int len[MAXN][MAXN];
int minP[MAXN];
int n,m;
bool used[MAXN];
int Ans = 0;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
int u,v,l;
int _tAns = 0;
for (int i=0;i<n;++i){
for (int j=0;j<n;++j){
len[i][j] = INF;
}
}

for (int i=0;i<m;++i){
scanf("%d%d%d",&u,&v,&l);
--u; --v;
len[u][v] = len[v][u] = l;
}

for (int i=0;i<n;++i) minP[i] = 0;
used[0] = true;

int minPosLenu,minPosLenv;
for (int i=1;i<n;++i){
minPosLenu = minPosLenv = 0;
for (int j=1;j<n;++j){
if (!used[j] && len[j][minP[j]] < len[minPosLenu][minPosLenv]){
minPosLenu = j;
minPosLenv = minP[j];
}
}

Ans += len[minPosLenu][minPosLenv];
used[minPosLenu] = true;
for (int j=0;j<n;++j){
if (len[j][minP[j]] > len[j][minPosLenu]){
minP[j] = minPosLenu;
}
}
}

printf("%d\n",Ans);
return 0;
}