【总结】【线段树】2016.1.24CXB

     这几天我们学了线段树这个算法，而作为寒假上课的最后一天，自然要将这个算法再演化一下。今天我们就讲了线段树的一些延伸。

    最长不下降序列（nlogn）：

【例题】

    有n个数排成一列，从前往后找出一条最长不下降序列，求这条序列的长度。（1<n<10^6）每个数字不超过10^6。

【输入】

5

1 2 1 3 8

【输出】

4

    这道题目我们很熟悉，以前讲动归的时候有，是n^2的算法，但学了线段树我们可以优化一下。

    首先证明一个东西：

O(nlogn)的算法关键是它建立了一个数组temp[]，temp[i]表示长度为i的不下降序列中结尾元素的最小值，用top表示数组目前的长度，算法完成后top的值即为最长不下降子序列的长度。
设当前的以求出的长度为top，则判断num[i]和temp[top]：
1.如果num[i]>=temp[top]，即num[i]大于长度为top的序列中的最后一个元素，这样就可以使序列的长度增加1，即top++,然后现在的temp[top]=num[i]；
2.如果num[i]<temp[top]，那么就在temp[1]...temp[top]中找到最大的j,使得temp[j]<num[i],然后因为temp[j]<num[i]，所以num[i]大于长度为j的序列的最后一个元素，那么就可以更新长度为j+1的序列的最后一个元素，即temp[j+1]=num[i]。
摘自：http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2011/11/20/2256537.html

    我们要想，线段树是要有分段的，那怎样才能分段呢？从题目上看，每个数字范围很小，那么我们可不可以用数字来建立一棵线段树呢？

    答案是肯定的。当一个数字进来时，我们只需要看看从1到这个数字中，最大的长度是多少，然后将这个数字代表的点等于这个最大长度加一，用线段树就很容易维护，只需要在一开始将全部设为0即可。

    

    换个角度，假如这个数字很大怎么办？

    其实仔细想，其实数字的大小并没有什么关系，其实我们只需要将每个数字排序，然后用这些数字一个一个排下去建立线段树即可。但注意的是，我们要记下每个数字的位置。

    对于这个位置怎么记录，老师的我没怎么听0.0，自己想到的是可以用结构体，在构建线段树的时候顺便记下就行了。（这个不是重点）

那么我们来讲第二种算法吧，二分：

    前面已经证明了最长不下降序列的单调性，事实上，当长度为3的序列中，结尾有两种情况，一个是9，一个是7是，自然，我们会选择更小的一个。也就是说，我们可以开一个数组，数组的下标就是序列长，而记录的值则是当前长度的最小值。我来举个栗子：

【输入】

7

3 2 5 1 6 4 9

【输出】

4

 

    画错位置了......蓝色全部向右移一格。

    从图片中我们就能很清晰地看出这个算法的原理了~

    那么接下来，我们就需要考虑一个问题了——如何找到并将一个数写入表格？

    这要牵扯到一个神奇的函数——upper_bound！这是什么意思呢就是......的数的下标，具体用法详见http://www.cplusplus.com/（很好用）——我后面贴了用法。

    怎么做自己想吧！

算了我自己贴= =：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int oo=100000007;int n;int num[1000001];int lon[1000001];int ans;int main(){freopen("up_longest.in","r",stdin);freopen("up_longest.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&num[i]);for(int i=1;i<=n;++i)lon[i]=oo;lon[0]=-oo;ans=0;for(int i=0;i<n;++i){int tmp=upper_bound(lon,lon+n,num[i])-lon;if(lon[tmp]==oo)lon[tmp]=num[i];elseif(lon[tmp]>num[i])lon[tmp]=num[i];if(tmp>ans)ans=tmp;}printf("%d\n",ans);return 0;}

好了我先讲这么多.....下午继续更

                                             ====================下午===================

发现一个简洁明了的用法，于是

转载：http://blog.sina.com.cn/s/blog_62582b7e0100eyqz.html

#include <iostream>#include <algorithm>//必须包含的头文件using namespace std;int main()
{ int point[10] = {1,3,7,7,9}; int tmp = upper_bound(point, point + 5, 7) - point;//按从小到大，7最多能插入数组point的哪个位置，即最后一个小于等于它的数的位置+1 printf("%d\n",tmp); tmp = lower_bound(point, point + 5, 7) - point;////按从小到大，7最少能插入数组point的哪个位置，即第一个大于等于它的数的位置-1 printf("%d\n",tmp); return 0;}

一篇讲这个的博客：http://www.cnblogs.com/cobbliu/archive/2012/05/21/2512249.html

    【例题】

    现在给出一棵树（注意只是【树】），有两种操作：

一、将一棵子树全部加上一个值

二、求这棵树上的最大值

    这道题目看起来十分复杂，因为这是一棵【树】，而不是【二叉树】。那么我们应该怎么做？

    我们先画出一个图：

    这是一棵很简单的树，我们发现，如果要将其转为二叉树显然是不可能的，所需步数太多了！

    但是，如果我们考虑线段树呢？又该怎么建立？

    答案就是DFS！

    众所周知，对于DFS，他的每个非叶节点，至少都会经过两次，so——我们只需要找到一个点在DFS中出现的第一次和最后一次，就能知道它的子树里包含有什么节点。

    拿图来说，它的DFS遍历是：1242526213731，去除多余的得：1245623731。这就是一段数据，我们就可以用线段树来维护了！

    这个做法其实在之前就已经讲过，就是图论里一个十分重要的东西——时间戳（时间标记）！这说明，我们算法之间是共同的，有时新的知识可以通过结合旧知识来得到更多东西，培养思维十分重要啊！