垒骰子-蓝桥杯

这是2015年蓝桥杯的一道题。

题目大意

　　 输入n,m，表示用n个骰子，在m个约束条件下，从下往上叠成一列。接下来m行，每行有两个数a,b，表示骰子之间数字a、b两个所在面不能拼接。
计算这n个骰子一共有多少种垒法？答案对1e9+7取余。

「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100
对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36

样例输入：
　　
2　 1
1　 2
　　
样例输出是：

544

大致思路

首先需要明白dp的思路，数组dp[i][j]表示第i层骰子朝上的点数为j的方案总数，
如果要计算dp[i+1][j]，那么就需要对满足不与j的对面冲突的所有情况的求和。
例如，样例中dp[2][4]应该怎么计算？首先4的对面是1，那么dp[1][2]肯定不能计算在内，dp[2][4]=dp[1][1]+dp[1][3]+dp[1][4]+dp[1][5]+dp[1][6]。
这样可以利用滚动数组在O（n）的时间复杂度计算出结果，但是当n达到10^9时会超时，那么这里就必须利用矩阵快速幂降低时间复杂度，矩阵快速幂的设计可以借鉴斐波那契数列中的矩阵快速幂算法。

这里需要两个数组，第一个是G[i][j]表示点数i朝上的对面点数和j是否冲突，res[i]表示第n层点数为i朝上的总方案数，那么第一层res[]={0,4,4,4,4,4,4};
第二层为res=res*G;

先拿出动态规划实现的代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int dp[2][7];int a[]={0,4,5,6,1,2,3};//对面 int G[7][7];const int mod=1000000007;//快速幂int pow(int a,int n,int mod){    if(n==0) return 1;    int x=pow(a,n/2,mod);    long long ans=(long long)x*x%mod;    if(n%2==1)    ans=ans*a%mod;    return (int)ans;} int main(){    int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);    int x,y;    memset(G,0,sizeof(G));    //memset(dp[0],1,sizeof(dp[0]));    for(int i=1;i<7;i++)    dp[0][i]=1;    memset(dp[1],0,sizeof(dp[1]));    for(int i=0;i<m;i++)    {        scanf("%d%d",&x,&y);        G[x][y]=1; G[y][x]=1;    }    int e=0;    for(int i=2;i<=n;i++)    {        e=1-e;        for(int j=1;j<=6;j++)        {            dp[e][j]=0;            int p=a[j];            for(int k=1;k<=6;k++)            {                if(G[k][p]==0)                dp[e][j]+=dp[1-e][k];            }            dp[e][j]%=mod;        }    }    long long ans=0;    for(int i=1;i<=6;++i)    {        ans+=dp[e][i];    }    ans=ans*pow(4,n,mod);    printf("%lld\n",ans);    return 0;}

矩阵快速幂实现

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int a[]={0,4,5,6,1,2,3}; //对面const int mod=1000000007;typedef struct{    int d[7][7];}node;node mul(node p1,node p2){    node ans;    for(int i=1;i<=6;++i)    for(int j=1;j<=6;++j)    {        long long res=0;        for(int k=1;k<=6;++k)        res+=p1.d[i][k]*p2.d[k][j];        ans.d[i][j]=res%mod;    }    return ans;}node pow(node a,int n){    node ans;    for(int i=1;i<=6;++i)    for(int j=1;j<=6;++j)    {    if(i==j)    ans.d[i][j]=1;    else ans.d[i][j]=0;    }    while(n)    {        if(n&1)        ans=mul(ans,a);        a=mul(a,a);        n/=2;    }    return ans;}int main(){    int n,m;    scanf("%d%d",&n,&m);    int x,y;    node G;    for(int i=1;i<=6;++i)    for(int j=1;j<=6;++j)    G.d[i][j]=4;    for(int i=0;i<m;++i)    {        scanf("%d%d",&x,&y);        G.d[a[x]][y]=0; G.d[a[y]][x]=0;    }    node res=pow(G,n-1);    long long ans=0;    for(int i=1;i<=6;++i)    for(int j=1;j<=6;++j)    {        ans+=res.d[j][i]*4;    }    printf("%d\n",ans%mod);    return 0;} 

如有不当之处欢迎指出！！