[DP] HDU5819 Knights

Knights

题意：

t数轴上有n个骑士位于1,2,3,...n，移动速度相同，初始移动方向已知，当两个骑士相遇时，各有50%的概率赢，输了就死了，并且移动到0和n+1的位置时移动方向会翻转，问最右的骑士存活的概率。

思路：

DP[i][j]表示前i个骑士有j个向右走，因为速度相同，所以不存在追及的情况。
如果第i个骑士开始往右走，显然有转移：

DP[i][j]=DP[i−1][j−1]

如果第i个骑士往左走，那就要考虑下了，容易想到的情况是i往左先杀掉几个，再被杀，那么可以写出转移

DP[i][j]=DP[i−1][j]/2+DP[i−1][j+1]/22+⋯+DP[i−1][i−1]/2i−j

发现这个转移是对上一层j到i−1的求和，利用这个性质可以这样：

DP[i][j+1]=DP[i−1][j+1]/2+DP[i−1][j+2]/22+⋯+DP[i−1][i−1]/2i−j−1

DP[i][j]=DP[i−1][j]/2+DP[i][j+1]/2

还有一种不容易想到的情况，就是i把左边的全部杀掉，在走到0转方向向右走，这种情况只存在于DP[i][1]，所以特殊考虑DP[i][1]。

DP[i][1]=DP[i−1][1]+DP[i−1][2]/2+DP[i−1][3]/22+…

同样利用求和的性质：

DP[i][1]=DP[i−1][1]+DP[i][2]

转移方程就写完了，剩下就是代码实现了。
最后答案就是最右的骑士杀掉左边的全部：

ans=DP[n−1][1]/2+DP[n−1][2]/22+⋯+DP[n−1][n−1]/2n−1

这个式子可以算答案了，但是利用求和的性质及j=1的特殊转移：

ans=DP[n][1]/2

另外由于要取模，所以/2全部变成∗2mod−2。
完毕。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const ll mod = 1e9+7;const int N = 1005;int n;ll dp[N][N];ll qpow(ll a, ll k){    ll res = 1;    while(k){        if(k&1) res = (res*a)%mod;        a = (a*a)%mod;        k >>= 1;    }    return res;}int main(){    int T, ca = 1;    ll qpow2 = qpow(2, mod-2);    scanf("%d", &T);    while(T--){        scanf("%d", &n);        memset(dp, 0, sizeof(dp));        dp[0][0] = 1;        for(int dir, i = 1; i <= n; ++i){            scanf("%d", &dir);            if(i == 1) dir = 1;            if(i == n) dir = 0;            if(dir == 1){                for(int j = 1; j <= i; ++j) dp[i][j] = dp[i-1][j-1];            }            else{                for(int j = i-1; j >= 2; --j){                    dp[i][j] = (dp[i-1][j]*qpow2+dp[i][j+1]*qpow2)%mod;                }                dp[i][1] = (dp[i-1][1]+dp[i][2])%mod;            }        }        printf("Case #%d: %lld\n", ca++, dp[n][1]*qpow2%mod);    }}