HDU 5819 Knights（概率DP）

Description
数轴1~n每点有一个骑士，每个骑士有个初始方向di（0表示向右，1表示向左1），骑士单位时间移动单位长度，两个骑士相遇会决斗，每个骑士赢的概率是0.5，输的骑士挂掉，骑士到达0和n+1时会改变方向，问最后活下来的那位骑士是第n位骑士的概率
Input
第一行一整数T表示用例组数，每组用例首先输入一整数b表示骑士数量，之后n个01表示每个骑士的初始方向(T<=10,1<=n<=1000)
Output
对于每组用例，输出最后活下来的那位骑士是第n位骑士的概率，结果模1e9+7
Sample Input
2
2
0 0
3
0 1 0
Sample Output
Case #1: 500000004
Case #2: 250000002
Solution
第一个骑士往右走，第n个骑士往左走，第n个骑士活下来的情况就是他打败了他左边所有往右走的骑士，令dp[i][j]表示第i名骑士往右走且前i名骑士中有j名骑士方向向右的概率，那么有以下转移方程
若第i名骑士方向向右，那么有dp[i][j]=dp[i-1][j-1]
若第i名骑士方向向左，设前i-1个骑士中k个骑士方向向右，考虑这个骑士往左走打败k-j个骑士后被干掉，那么有,j=2,3,…,i-1
注意到j=1时有两种情况，一种是第i名骑士干掉前面一些方向向右的骑士后被最后一个向右的骑士干掉，另一种是第i名骑士干掉前面所有向右的骑士后到0点改变方向，故
进一步优化这个转移方程有
dp[i][1]=dp[i-1][1]+dp[i][2]
dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j+1])/2，j=2,3,..,i-1
最后答案就是dp[n][1]/2，除以2是因为最后向右的必须是第n个骑士，也就是说第n个骑士与其左边最后一个骑士决斗要胜出，而不是被打败
Code

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;typedef long long ll;#define mod 1000000007ll#define inv2 500000004ll#define maxn 1111ll dp[maxn][maxn];int T,n,d,Case=1;int main(){    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        printf("Case #%d: ",Case++);        scanf("%d",&n);        memset(dp,0,sizeof(dp));        dp[0][0]=1;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d",&d);            if(i==1)d=1;            if(i==n)d=0;            if(d)            {                for(int j=1;j<=i;j++)                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];            }            else            {                for(int j=i-1;j>1;j--)                    dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j+1])%mod*inv2%mod;                dp[i][1]=(dp[i-1][1]+dp[i][2])%mod;            }        }        printf("%I64d\n",dp[n][1]*inv2%mod);    }    return 0;}