完全背包----两个for循环的先后问题

这篇文章主要是讲完全背包问题中，什么情况下两个for循环的位置不能交换。

在点击打开链接（完全背包问题----思想的理解）中我们提到，完全背包一维数组的实现的两个for循环是可以交换顺序的。

伪代码分别如下所示：

方式一：《背包九讲》基于01背包问题推导出来的，还记得和01背包一维数组实现的区别吗？

f[0] =0;

for    i:1->n

    do  for j:c[i]->C

          f[j] = max(f[j],f[j-c[i]+w[i]])

方式二：《算法竞赛入门》基于DAG推导出

f[0] = 0

for   i:1->C

      do for j:1->n

          if(i>=c[j] && f[i]>f[i-c[j]]+w[i])  f[i] =f[i-c[j]]+w[i];

完全背包问题的要求是要求求出装满背包时的最大重量，在这种情况下，上述两种for循环都是可以的。

但是我们现在来换一个问题：UVa中的674硬币找零问题：点击打开链接

该问题大意如下：

有5种硬币，面值分别为1,5,10,20,25。给你一个总额s，问有多少种找零方式?

注意比如总额为6，则[1,5],[5,1]显然是同一种找零方式，这两种只能算作一种。

问题的分析：

很显然这是一个完全背包模型，但是又不完全相同，因为它要求的是总的找零方式。

换成DAG的描述就是，以前要求从状态S->到状态0的最大路径，而现在问你一共能有多有条路径能从状态S到状态0.而且与点的顺序无关。

状态转移方程很好定义

d[i][j]表示前i种硬币对金额j找零的方式数。则

d[i][j] = d[i-1][j]+d[i-1][j-kc[i]]   k:0->j/c[i]

在这种情况下只能采用方式一，把对n的历遍放到第一层循环，这样才能避免把[1,5]、[5,1]算作两条路径。因为你限制了1,5的顺序，

到了i=5之后不可能在发生5,1的情况产生。

对于方式二，把对n的历遍放在第二层，对于任意的一个状态v,都可能历遍每一种硬币，会导致重复冗余的问题。

如果想加深理解，建议最好把两种方式都实现一下，单步执行查看

 该问题的具体代码实现如下：

int c[5] = { 1, 5, 10, 25, 50 };int d[7490];int main(){d[0] = 1;for (int j = 0; j<5; ++j){for (int i = c[j]; i <= 11; ++i){d[i] += d[i - c[j]];}}int n;cin >> n;cout << d[n];return 0;}