【贪心算法】区间调度问题总结

1. 单区间调度问题

问题定义：存在单一资源，有一组以时间区间形式表示的资源请求reqs={req-1, req-2, …, req-n}，第i个请求希望占用资源一段时间来完成某些任务，这段时间开始于begin(i)终止于end(i)。如果两个请求req-i和req-j在时间区间上没有重叠，则说这两个请求是相容的，求出这组请求的最大相容子集(最优子集)。举个例子：有一间多媒体课室，某一个周末有多个社团想要申请这间课室去举办社团活动，每个社团都有一个对应的申请时间段，比如周六上午8:00-10:00。求出这间课室在这个周末最多能满足几个社团的需求。

解决方案：贪心算法，优先选择最早结束的需求，确保资源尽可能早地被释放，把留下来满足其他需求的时间最大化。具体伪代码如下所示，算法结束后集合A中会保留所有相容请求，A的大小即是最大相容数量。

初始化R是所有需求的集合，A为空集对R中的需求Ri，根据结束时间从早到晚排序for Ri in R, do  if Ri与A中的请求相容    A = A并Ri  endIfendForreturn A

上述伪代码的C++实现如下，

#include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>using namespace std;const int MAX_SIZE = 100;struct Request {  int begin, end;} req[MAX_SIZE];bool operator<(const Request& req1, const Request& req2) {  return req1.end < req2.end;}int main() {  int requestNum;  cin >> requestNum;  if (requestNum > MAX_SIZE) {    cout << "请求数量过多" << endl;    return 0;  }  for (int i = 0; i < requestNum; ++i) {    cin >> req[i].begin >> req[i].end;  }  sort(req, req + requestNum);  vector<Request> rvec;  rvec.push_back(req[0]);  for (int i = 1; i < requestNum; ++i) {    if (rvec[rvec.size() - 1].end <= req[i].begin) {      rvec.push_back(req[i]);    }  }  cout << "最大兼容量: " << rvec.size() << endl;  return 0;}

2. 多区间调度问题

问题定义：存在多个(或者无限多个)相同的资源，有一组以时间区间形式表示的资源请求reqs={req-1, req-2, …, req-n}，第i个请求希望占用资源一段时间来完成某些任务，这段时间开始于begin(i)终止于end(i)。如果两个请求req-i和req-j在时间区间上没有重叠，则说这两个请求是相容的，用尽可能少的资源满足所有请求(求最优资源数量)。举个例子：有很多间课室，某个周末有多个社团需要申请课室办活动，每个社团都有一个对应的申请时间，求最少需要多少间课室才能够满足所有社团的需求(在这个问题之中时间重叠的社团需要安排在其他课室，即会使用到多个资源，需要考虑多个资源上的调度安排，故称为多区间调度)。

解决方案：贪心算法，将需求按照开始时间的早晚进行排序，然后开始为这些资源打标签，每个标签代表都一个资源，需求req-i被打上标签k表示该请求分配到的资源是k。遍历排序后的需求，如果一个需求与某个已分配资源上的其他安排不冲突，则把该需求也放进该资源的安排考虑中；如果冲突，那么应该要给此需求分配新的资源，已用资源数量加一。具体操作的伪代码如下所示。

对n个需求按照开始时间从早到晚进行排序假设排序后的需求记为{R1, R2, ..., Rn}初始化tagSize = 1;for i=1 to n, do:  tags = {1,2,...,tagSize};  for j = 1 to i-1, do:    if Rj与Ri时间区间重叠产生冲突:      tags = tags - {Rj的标签};    endIf  endFor  if tags为空集:    tagSize += 1;    将标签tagSize贴在Ri上  EndIf  else:    在tags剩下的标签中随便挑一个贴给Ri  endElseendFor此时每个请求上都贴有标签，每个标签对应其申请的资源编号，此时的tagSize就是至少需要的资源数量return tagSize;

上述伪代码的C++实现如下：

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;const int MAX_SIZE = 100;struct Request {  int begin, end, tag;} req[MAX_SIZE];bool operator<(const Request& req1, const Request& req2) {  return req1.begin < req2.begin;}int main() {  int requestNum;  cin >> requestNum;  if (requestNum > MAX_SIZE) {    cout << "请求数量过多" << endl;    return 0;  }  for (int i = 0; i < requestNum; ++i) {    cin >> req[i].begin >> req[i].end;  }  sort(req, req + requestNum);  int tagSize = 1;  req[0].tag = 0;  bool tags[MAX_SIZE];  for (int i = 1; i < requestNum; ++i) {    memset(tags, 1, sizeof(tags));    for (int j = 0; j < i; ++j) {      if (req[j].end > req[i].begin) {        tags[req[j].tag] = false;      }    }    bool isTagsEmpty = true;    int tag;    for (int j = 0; j < tagSize; ++j) {      if (tags[j]) {        isTagsEmpty = false;        tag = j;        break;      }    }    if (isTagsEmpty) {      req[i].tag = tagSize;      ++tagSize;    } else {      req[i].tag = tag;    }  }  cout << "最小资源使用量: " << tagSize << endl;  return 0;}

3. 最小延迟调度问题

问题定义：存在单一资源和一组资源请求reqs={req-1, req-2, …, req-n}，与前面两个问题不同，这里的资源从时刻0开始有效(开始接受申请，开始可以被使用)，每个请求req-i都有一个截止时间ddl(i)，每个请求都要占用资源一段连续的时间来完成任务，占用时间为time(i)。每个请求都希望自己能在ddl之前完成任务，不同需求必须被分在不重叠的时间区间(单一资源，同一时刻只能满足一个请求)。假设我们计划满足每个请求，但是允许某些请求延迟(即某个请求在ddl之后完成，延误工期)，确定一种合理的安排，使得所有请求的延期时间中的最大值，是所有可能的时间安排情况中最小的。从时刻0开始，为每个请求req-i分配一个长度time(i)的时间区间，把区间标记为[begin(i), end(i)]，其中end(i) = begin(i) + time(i)。如果end(i) > ddl(i)，则请求req-i被延迟，延迟时间为delay(i) = end(i) - ddl(i)；否则delay(i) = 0。合理安排需求，使得maxDelay = max{delay(1), delay(2), …, delay(n)}是所有可能的安排中最小的。

解决方案：贪心算法，按照截止时间ddl排序，越早截止的任务越早完成。该算法是一个没有空闲的最优调度，即从时刻0开始都有在处理请求，直到最后一个请求执行完释放资源之后才空闲。伪代码如下所示。

将需求按照截止时间进行排序假设排序后的截止时间为ddl[1]<=...<=ddl[n]start = 0;maxDelay = 0;for i = 1 to n, do:  begin[i] = start;  end[i] = start + time[i];  start = end[i] + time[i];  if maxDelay < end[i] - ddl[i]:    L = end[i] - ddl[i];  endIfendFor则每个任务安排的时间区间为[begin[i], end[i]]，所有任务中最大的延迟为maxDelay，maxDelay为所有可能的任务安排中最小的延迟return maxDelay;

上述代码的C++实现如下：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int MAX_SIZE = 100;struct Request {  int time, ddl;  int begin, end;} req[MAX_SIZE];bool operator<(const Request& req1, const Request& req2) {  return req1.ddl < req2.ddl;}int main() {  int requestNum;  cin >> requestNum;  if (requestNum > MAX_SIZE) {    cout << "请求数量过多" << endl;    return 0;  }  for (int i = 0; i < requestNum; ++i) {    cin >> req[i].time >> req[i].ddl;  }  sort(req, req + requestNum);  int start = 0, maxDelay = 0;  for (int i = 0; i < requestNum; ++i) {    req[i].begin = start;    req[i].end = start + req[i].time;    start += req[i].time;    if (maxDelay < req[i].end - req[i].ddl) {      maxDelay = req[i].end - req[i].ddl;    }  }  cout << "最小的最大延迟: " << maxDelay << endl;  return 0;}