jzoj2540 采药2

看到标题还以为是一道水题
数据范围
50%的数据中 N，M ≤ 1000；
100%的数据中 N，M ≤ 100000，Ti，Vi ≤10。
很容易发现十万个物品却只有100种物品,就是多重背包.

做法1

最简单的做法就是贪心
价格相同要优先取收益大的.如果收益大的不够才往下取,这样的话最坏时间复杂度就是
O(10*(n+m))
正确性显然吧… 没有理由去选价格相同收益却小的.

做法2

将每一种物品拆成数个数量是二的幂个数的物品,比如5=1+2+2, 4=1+2+1, 10=1+2+4+3
(允许有一个不是二的幂)
这样所有个数都能凑出来,
因为假如拆出来所有都是二的幂,那么显然能凑出来(看二进制),
假如有一个数X不是二的幂,那么不大于总个数减去X的所有数都能凑出来,那么+一个X同样可以凑出所有数
然后就做一次01背包就可以了.
最坏时间复杂度就是O(log100 *100*m)

做法3

我们观察方程

Fj=max(Fj−kWi+kVi)

可以发现,能更新Fj的j-kWi与j同余(mod wi)
于是我们对于每一种物品,开0~wi-1共wi个单调队列
然后压入队列的时候,我们假定有一个队尾状态X与当前需要压入的Y
我们求出两个状态分别的(j−X.T)/w[i]∗v[i]+X.V 如更优则抛弃劣质状态(出队)
X.T与X.V分别代表该状态的j与fj

意义为在这一段时间内,我们最多能放入的物品个数*价值+他本身的价值得到总价值
然后每次更新取队首即可,在压入队列前需要将X.T>ni*wi的给出队,因为这些取不到.