位运算（1）-- 基础

一、基础

与：a & b
或：a | b
非：~ a
异或：a ^ b
左移：a << b
右移：a >> b

二、基本技巧

与操作：

• 指定位清零：void clr(int& a, int i) { a &= ~(1 << i); }
• 获取指定位的值：int get(int a, int i) { return a & (1 << i); }
• 保留某些位不变：操作数相应的要保留的位设置位1，如：a &= 0xff
• 判断一个数是否是2的幂：bool isPow2(int a) { return !(a & (a - 1)) && a; }
• 奇偶性判断：a & 1

或操作：

• 设置指定位：void set(int& a, int i) { a |= (1 << i); }

取反操作：

• 相反数：int opposite(int a) { return ~a + 1;} (原码和补码的相互转换)

异或操作：

• 交换两个整数：void swap(int& a, int& b) { a ^= b ^= a ^= b; }
• 指定位取反：void reverse(int& a, int i) { a ^= (1 << i); }

移位操作：

• 2的幂次：a << = 2
• 循环移位：void rol(int& a, int k) { a = a << k | a >> 32 - k; }

三、简单应用

• average函数：计算两个整数x和y的平均值，(x + y) / 2可能溢出，二分法常用的x + (y - x) / 2也可能溢出，使用位运算可避免该问题。
  实现：int average = (x & y) + ((x ^ y) >> 1);
  原理：回想一下半加器的原理，半加器有两部分逻辑：本位 S=A⊕B（异或） 和进位 C=A∙B （与）。将多位加法的本位和进位分开考虑，进位则为(x & y) << 1（进位的结果需要加到上一位），本位则为x ^ y，从而平均值为(x & y) + ((x ^ y) >> 1).

• abs函数：位运算避免常规方法求绝对值的分支预测
  实现：int abs(int x) { int y = x >> 31; return (x + y) ^ y; }
  原理：-x = ~x + 1 = ~(x - 1). y = x >> 31是获得符号位。
  当x >= 0时，y = 0, 此时(x + 0) ^ 0 = x;
  当x < 0 时，y = -1或者(0xFFFFFFFF)，此时(x + y) ^ y就变为(x - 1) ^ 0xFFFFFFFF（这一步异或相当于取反） = ~(x - 1) = -x.

• max函数：同样避免分支预测。
  实现：int max(int x, int y) { return x ^ ( (x ^ y) & (x - y) >> 31 ); }
  原理：利用异或的性质，首先获得x - y的符号位，为正符号为0否则为-1.当符号位为0时，x >= y，此时(x ^ y) & 0 = 0, x ^ 0 = x; 当符号位为-1时，(x ^ y) & 0xFFFFFFFF = x ^ y, x ^ (x ^ y) = y.

• 常整数乘法：通过位运算对常整数的乘法进行优化。
  如：计算x = x * K
  将常整数K的二进制表示表达为一组 0 和 1 交替的序列：
  [(0…0)(1…1)(0…0)(1…1)…]
  考虑一组从位置 n 到 m 的连续 1 (n >= m)，可以用以下两种形式将乘法变为位运算：
  A：(x << n) + (x << n - 1) + ... + (x << m )
  B：(x << n + 1) - (x << m)