ACM之路——算法模板（数学）

在说正事之前，先说说题外话，进集训队也有将近八个月，感觉这就是一个靠数学吃饭的地方，另外还需要努力，每一道题目你解决它所花的时间跟你的进步是成正比的，路还有那么长，不过今年就要参加省赛了，剩下的时间不多，赶紧补题去！！！

数学在比赛中占的比重比较大，主要是数论、公式、递推、组合、概率、矩阵、博弈等等，目前更新一部分的模板，另外一部分会马上更新，请大家不要着急。

一、简单数论、特殊公式

（1）素数判定

bool prime(int x)         {    for(int i=2;i*i<=maxn;i++)    //降低时间复杂度      if(x%i==0)        return false;    return true; }

（2）筛法素数打表

void getprime(int n)      {    int k=0,ans[maxn];    memset(ans,0,sizeof(ans));    ans[0]=ans[1]=1;    for(int i=2;i<=n;i++)    {        if(!ans[i])                       for(int j=i*i;j<=n;j+=i)            ans[j]=1;              //标记变量    }    for(int i=2;i<=n;i++)      if(!ans[i])                //值为0的都是素数        ans[k++]=i;    ans[k]='\0';    for(int i=0;ans[i]!='\0';i++)      cout<<ans[i]<<" ";    cout<<endl; }

（3）唯一分解定理

void W(int n)         {    int k=0，s[maxn];    for(int i=2;i<=n;i++)    {        if(n%i==0)        {            while(n%i==0)           //一定能保证i为素数              n/=i;            s[k++]=i;        }    }    for(int i=0;i<k;i++)      cout<<s[k]<<" ";    cout<<endl;}

（4）欧拉公式

N(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)···（其中p1、p2为能被n整除的素因子）

void euler_phi(int n)         {    int sum=n;    for(int i=2;i<=n;i++)    {        if(n%i==0)        {            sum=sum/i*(i-1);            while(n%i==0)              n/=i;        }    }    if(n>1)      sum=sum/n*(n-1);    cout<<sum<<endl;}

（5）GCD

int gcd(int a,int b)         {    return b==0?a:gcd(b,a%b);    //不断递归}

（6）扩展GCD（求出x,y，满足Ax+By=gcd(A,B) ）

int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y)         {    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    int r=extend_gcd(b,a%b,y,x);      y-=x*(a/b);    return r;}

（7）中国剩余定理（中国剩余定理 求出方程组x=a(i)(mod m(i))(0<=i

int CRT(int a[],int m[],int n)           {    int M=1;    for(int i=0;i<n;i++)      M*=m[i];    int ret=0;    for(int i=0;i<n;i++)    {        int x,y;        int tm=M/m[i];        extend_gcd(tm,m[i],x,y);        ret=(ret+tm*x*a[i])%M;    }    return (ret+M)%M;}

（8）进制转换（x进制的数转换成y进制 ）

string transform(int x,int y,string s)   {    string res="";    int sum=0;    for(int i=0;i<s.length();i++)    {        if(s[i]=='-')          continue;        if(s[i]>='0'&&s[i]<='9')      //十进制以内          sum=sum*x+s[i]-'0';        else          sum=sum*x+s[i]-'A'+10;      //十进制之外    }    while(sum)    {        char tmp=sum%y;        sum/=y;        if(tmp<=9)          tmp+='0';        else          tmp=tmp-10+'A';        res=tmp+res;    }    if(res.length()==0)      res="0";    if(s[0]=='-')       res='-'+res;    return res;}

（9）快速幂取模（求a的i次幂对n的模 ）

void quickpow_mod(int a,int i,int n)         {    int k=a%n,sum=1;    while(i)    {        if(i&1)          sum=sum*k%i;        k=k*k%a;        n>>=1;    }    cout<<sum<<endl;}

（10）星期计算（蔡勒公式 给定一个日期，求出这一天是星期几，返回ans，表示是星期(ans+1) ）

int whatday(int day,int mon,int year)   {    int ans;    if(mon==1||mon==2)    {        mon+=12;        year--;    }    if((year<1752)||(year==1752&&mon<9)||(year==1752&&mon==9&&day<3))   //当日期在1752年9月3日之前      ans=(day+2*mon+3*(mon+1)/5+year+year/4+5)%7;    else        ans=(day+2*mon+3*(mon+1)/5+year+year/4-year/100+year/400)%7;    return ans;} 

（11）闰年判断

bool Isleap(int year)           {    if(year%400==0||year%100&&year%4==0)      return true;    return false;}

（12）日期计算

int leap(int y)           {    if(!y)      return 0;    return y/4-y/100+y/400;}int  calc(int day,int mon,int year)       {    int res=(year-1)*day+leap(year-1);    int s[12]={31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};    for(int i=1;i<mon;i++)      res+=s[i];    if(Isleap(year)&&mon>2)      res++;    res+=day;    return res;} void count_day(int da,int ma,int ya,int db,int mb,int yb)  {    int resa=calc(da,ma,ya);    int resb=calc(db,mb,yb);    cout<<abs(resa-resb)<<endl; }

二、常见递推，特殊计数

（13）Catalan数（ 1,1,2,3,5,14,42,132,429,1430,4862,16796）

f(n)=f(2)*f(n-1)+f(3)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(2)   边界是f[2]=f[3]=1;

void Catalan(int n)        {    long long count=1;    for(int i=1,j=2*n;i<=n;i++,j--)      count=count*j/i;    cout<<count/(n+1)<<endl;} 

（14）第二类Stirling数、Bell数（结果b[n]对c取模 ）（1,2,5,15,52,203,877,140,147,975,当n=100时,b[n]=751）

#define c 1000long long a[2005][2005]={1};long long b[2005];void Bell(int n,int c)           {    for(int i=1;i<=2000;i++)    {        a[i][0]=0;        a[i][i]=1;        for(int j=1;j<i;j++)          a[i][j]=(a[i-1][j-1]+j*a[i-1][j])%c;    }    for(int i=1;i<=2000;i++)    {        b[i]=0;        for(int j=0;j<=i;j++)          b[i]=(b[i]+a[i][j])%c;    }     cout<<b[n]<<endl;}

（15）错排计数（给出n，求出1~n的错排个数占n个数全排列的百分比

 错排公式：Dn=(1-1+1/2!-...+[(-1)^n]*1/n!)*n!)

void Cuopai(int n)       {    double sum,sign=1.0;    if(n==1)      sum=0;    else    {        sum=0;        long long k=1;        for(int i=2;i<=n;i++)        {            k*=i;            sum=sum+sign/(k*1.0);            sign=-sign;        }        sum*=100;    }    printf(".2%%lf",sum);}

（16）全排列（字符串S字母的全排列输出 (可转化应用于数组)）

void Pailie(char s[])         {    int len=strlen(s);    sort(s,s+len);    do    {        cout<<s<<endl;    }while(next_permutation(s,s+len));}

（17）三角形计数（从1~n任意选择三个数，并且保证三边长能够组成三角形）（0,1,3,7,13,22,34,50,70,95,125,161,203,252,308,372,444）

f(n)=f(n-1)+((n-1)*(n-2)/2-(n-1)/2)/2  边界是f[3]=0;

void TC(int n){    long long a[maxn];    a[3]=0;    for(i=4;i<maxn;i++)      a[i]=a[i-1]+((i-1)*(i-2)/2-(i-1)/2)/2;    cout<<a[n]<<endl;}

（18）折线分割平面（0,5,14,27,44,65,90,119,152,189,230,275,324,377,434）

f(n)=f(n-1)+4*(n-1))+1   边界f[1]=0;

void ZX(int n)       {    long long a[maxn];    a[1]=0;    for(int i=2;i<10005;i++)      a[i]=a[i-1]+4*(i-1)+1;    cout<<a[n]<<endl;} 

（19）三色问题（3,6,6,18,50,66,126,258,510,1026,2046,4098,8190,16386,32766）

f(n)=f(n-1)+f(n-2)*2   边界f[0]=0;

void RPG(int n)        {    long long s[55];     s[0]=0;s[1]=3,s[2]=6;s[3]=6;    for(int i=4;i<=50;i++)      s[i]=s[i-1]+s[i-2]*2;    cout<<s[n]<<endl;}

（20）骨牌铺方格I（两层）（1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987）

 f(n)=f(n-1)+f(n-2)   边界f[0]=0;

void GPI(int n)          {    long long s[50];    s[0]=0,s[1]=1,s[2]=2;    for(int i=3;i<50;i++)      s[i]=s[i-1]+s[i-2];    cout<<s[n]<<endl;} 

（21）骨牌铺方格II（三层）（3,11,41,153,571,2131,7953,29681,110771）

 f(n)=3*f(n-2)+2*(f(n-4)+...+f(2));   (n为偶数，且f(0)=1,f[2]=3)

void GPII(int n)       {    int a[17],sum=0;    a[0]=0,a[1]=1;    for(int i=2;i<=16;i++)    {        sum=sum+a[i-2];        a[i]=3*a[i-1]+2*sum;    }    if(n%2==1)      cout<<0<<endl;    else      cout<<a[n/2+1]<<endl; }

（22）切西瓜问题（2,3,5,8,12,17,23,30,38,47,57,68）

 F(n)=(n*n-n+4)/2;

int QXG(int n)    {    return (n*n-n+4)/2;}