FZU 2142 Center of a Tree [树形DP]

题目链接：[FZU 2142 Center of a Tree]

题意描述：一个顶点是一棵树的中心 当且仅当 从该点出发到树上其他节点距离最大的值最小， 可以证明中心最多不会超过两个。然后给定一个N个顶点的一棵树， 1 <= N <=1000。 要你求有多少棵子树，满足该子树的中心与原树的中心相同。

解题思路：首先，求出中心点。求出树上每个点到树上其他节点的最大距离，然后就可以求出中心点。 这里可以用两次DFS解决。第一次DFS求出dist[u][1]和 dist[u][1] ， 分别表示u 为根节点的子树上距离u最大距离和次大距离， 第二次DFS就是从跟节点出发，求出每个顶点在原树上能到达的最大距离和次大距离， 这个过程的方法跟 《[SGU - 149 Computer Network] 树形DP 求带权树上每个节点的最长路长度》 一样。

然后，用dp[u][k] 表示 u 为根节点的子树上深度小于等于k 的方案数。这个可以通过一次DFS求出。而如果要求 深度为k 的方法数， 只需要 dp[u][k] - dp[u][k - 1] 即可。

然后，考虑中心点有两个的情况(用u和v表示这两个中心点)，那么答案就是，∑(dp[u][k] - dp[u][k - 1])*(dp[v][k] - dp[v][k - 1])。

考虑中心点只有一个的情况就复杂一些了。因为要保证至少有两个根节点的子节点的最大距离相同。求深度为k的方法数的时候，用F[i][0]， F[i][1]， F[i][2]表示当前深度k下根节点的前i个子节点的构成的子树深度为k 的子树个数为0， 1， 2及两个以上的方法数。

那么可以得到状态转移方程：

F[i][0] = F[i - 1][0] * (1 + dp[v][k - 1]) % MOD;
F[i][1] = F[i - 1][1] * (1 + dp[v][k - 1]) % MOD + F[i - 1][0] * (dp[v][k] - dp[v][k - 1]) % MOD;
F[i][2] = F[i - 1][2] * (1 + dp[v][k - 1]) % MOD + (F[i - 1][1] + F[i - 1][2]) * (dp[v][k] - dp[v][k - 1]) % MOD;

#include <queue>#include <cmath>#include <cstdio>#include <string>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")#define FIN             freopen("input.txt","r",stdin)#define FOUT            freopen("a.out","w",stdout)#define fst             first#define snd             secondtypedef __int64  LL;typedef pair<int, int> PII;const int MAXN = 1000 + 5;const int MOD = 10086;int T, N;struct Edge {    int v, next;    Edge() {}    Edge (int v, int next) : v (v), next (next) {}} edges[MAXN << 1];int head[MAXN], tot;PII ecc[MAXN];int dp[MAXN][MAXN], dist[MAXN][2], S[MAXN], F[MAXN][3], SIZE;int P[MAXN];void init() {    tot = 0;    memset (head, -1, sizeof (head) );    memset (dp, 0, sizeof (dp) );    P[0] = 1;    for (int i = 1; i < MAXN; ++i) P[i] = (P[i - 1] << 1) % MOD;}void add_edge (int u, int v) {    edges[tot] = Edge (v, head[u]);    head[u] = tot ++;}void read() {    int u, v;    scanf ("%d", &N);    for (int i = 1; i <= N - 1; i++) {        scanf ("%d %d", &u, &v);        add_edge (u, v);        add_edge (v, u);    }}void dfs1 (int u, int pre) {    int v, temp;    dist[u][1] = dist[u][0] = 1;    for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {        v = edges[i].v;        if (v == pre) continue;        dfs1 (v, u);        temp = dist[v][1] + 1;        if (temp > dist[u][1]) swap (temp, dist[u][1]);        if (temp > dist[u][0]) swap (temp, dist[u][0]);    }}void dfs2 (int u, int pre) {    int v, temp;    for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {        v = edges[i].v;        if (v == pre) continue;        if (dist[u][1] == dist[v][1] + 1) {            temp = dist[u][0] + 1;        } else {            temp = dist[u][1] + 1;        }        if (temp > dist[v][1]) swap (temp, dist[v][1]);        if (temp > dist[v][0]) swap (temp, dist[v][0]);        dfs2 (v, u);    }}void dfs3 (int u, int pre) {    int v;    for (int k = 0; k <= N; k++) dp[u][k] = 1;    for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {        v = edges[i].v;        if (v == pre) continue;        dfs3 (v, u);        for (int k = 1; k <= N; k++) {            dp[u][k] = (dp[u][k] + dp[u][k] * dp[v][k - 1] % MOD) % MOD;        }    }}void center() {    dfs1 (1, -1);    dfs2 (1, -1);    for (int i = 1; i <= N; i++) {        ecc[i] = PII (dist[i][1], i);    }    sort (ecc + 1, ecc + N + 1);}int solve() {    int u, v, ans;    u = ecc[1].snd, v = ecc[2].snd;    if (N != 1 && ecc[1].fst == ecc[2].fst) {        dfs3 (u, v);        dfs3 (v, u);        ans = 1;        for (int k = 1; k <= N; k ++) {            int x = dp[u][k] - dp[u][k - 1];            int y = dp[v][k] - dp[v][k - 1];            ans = (ans + x * y) % MOD;        }    } else {        dfs3 (u, -1);        ans = 1;        int SIZE = 0;        for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {            v = edges[i].v;            S[++ SIZE] = v;        }        if (SIZE > 1) ans = ans + P[SIZE] - SIZE - 1;        for (int k = 1; k <= N; k ++) {            F[0][0] = 1, F[0][1] = F[0][2] = 0;            for (int i = 1; i <= SIZE; i++) {                v = S[i];                F[i][0] = F[i - 1][0] * (1 + dp[v][k - 1]) % MOD;                F[i][1] = F[i - 1][1] * (1 + dp[v][k - 1]) % MOD + F[i - 1][0] * (dp[v][k] - dp[v][k - 1]) % MOD;                F[i][2] = F[i - 1][2] * (1 + dp[v][k - 1]) % MOD + (F[i - 1][1] + F[i - 1][2]) * (dp[v][k] - dp[v][k - 1]) % MOD;                F[i][1] %= MOD;                F[i][2] %= MOD;            }            ans = (ans + F[SIZE][2]) % MOD;        }    }    ans = (ans + MOD) % MOD;    return ans;}int main() {#ifndef ONLINE_JUDGE    FIN;//    FOUT;#endif // ONLINE_JUDGE    int cas = 0;    int ans;    scanf ("%d", &T);    while (T --) {        init();        read();        center();        ans = solve();        printf ("Case %d: %d\n", ++ cas, ans);    }    return 0;}