二叉树

本文包含以下内容：

一.二叉树的一些基本概念

二.两条定理

三.二叉树的层次历遍

四.二叉树的数组实现和链表实现

五.二叉检索树

六.总结

一.二叉树的基本概念

二叉树：一个点的集合，这个集合要么为空，要么包含一个根节点和两个子二叉树

祖先和子孙：如果一条路径从结点R至M，那么R是M的祖先，M是R的子孙

深度、高度、层数：R至M路径长度为L，则至M的深度为L，高度为L+1，层数为L

满二叉树和完全二叉树：满二叉树是指一个结点要么是叶子节点，要么有两个非空子节点

                                         完全二叉树是指每一层结点都是从左至右散布，除了最后一层可以不满，其他每一层都是满的

                                         满二叉树不一定是完全二叉树，完全二叉树也不一定是满二叉树

二.两条定理

定理一：对于非空满二叉树，叶节点数等于分支节点数加1

证明：（非严格证明，仅为个人理解）

            当n=1时，分支节点数0，叶节点数为1，此时有叶节点的数目等于分支节点的数目加一

            此后，每增加一个分支节点，原本的叶节点就会减少一个，但是会增加两个新的叶节点，

            也就是说，总体上分支节点的数目每增加一个，叶节点的数目也会相应增加一个。

            因为n=1的时候结论成立。因此，总有叶节点的数目等于分支节点的数目加一。

           

           

定理二：对于任意一个非空二叉树，空子树的数目等于结点数加1

证明：（非严格证明，仅为个人理解）

              当n=1时，空子树数目为2，结点数为1，空子树的数目等于节点数目加1

              此后，每增加一个结点，原先空子树的数目会减1，但是会增加两颗新的空子树

             也就是说，节点数目每增加1，空子树数目对应加1.

             因此，对于任意一棵非空二叉树，总有空子树的数目等于结点数加1成立

三.二叉树的层次历遍

三种历遍方式：

先序、中序、后序

先序：先访问根节点，再访问其整颗左子树，再访问其整颗右子树

中序：先访问整颗左子树，再访问根节点，再访问整颗右子树

后序:先访问整颗左子树，在访问整颗右子树，最后访问根节点

前序输出：ABDCEGFHI

中序输出：BDAGECHFI

后序历遍：DBGEHIFCA

代码：

前序

void preorder(BinNode<E>* root) {<span style="white-space:pre"></span>if (root == NULL)return;<span style="white-space:pre"></span>else {<span style="white-space:pre"></span>visit(root);<span style="white-space:pre"></span>preorder(root->left);<span style="white-space:pre"></span>preorder(root->right);<span style="white-space:pre"></span>}}

中序

void midorder(BinNode<E>* root) {if (root == NULL)return;else {preorder(root->left);visit(root);preorder(root->right);}}

后序

void lastorder(BinNode<E>* root) {if (root == NULL)return;else {preorder(root->left);preorder(root->right);visit(root);}}

四.二叉树链表实现和数组实现

五.二叉检索树

1.什么是二叉检索树

二叉检索树每个结点有一个键K，左子树的K值全部小与根节点，右子树的K全部大于或等于根节点的K

这样子，可以将检索时间缩小一半。

2.二叉检索树的插入

 递归历遍插入

3.二叉检索树的删除

删除最小的一个节点：

       找到最左的结点l，让其父节点指向l的右子树，删除结点l

删除值为K的结点：

      先找到值为K的结点，

     如果其没有子树，直接删除，让原本指向它的父节点指针指向空。

     如果有子树：思路是找到左子树里最大的结点   或者  右子树里最小的结点，让其取代原本要删除的结点的位置

                注意：如果子树里有相同的元素，只能选右子树里最大的结点取代。

                         原因可以看定义，二叉检索树左子树的K一定严格小与根节点，二右子树则是大于等于