数据结构实验之图论七：驴友计划（最短路径之Dijkstra算法+Bellman-Ford算法）

数据结构实验之图论七：驴友计划

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题目描述

做为一个资深驴友，小新有一张珍藏的自驾游线路图，图上详细的标注了全国各个城市之间的高速公路距离和公路收费情况，现在请你编写一个程序，找出一条出发地到目的地之间的最短路径，如果有多条路径最短，则输出过路费最少的一条路径。

输入

连续T组数据输入，每组输入数据的第一行给出四个正整数N,M，s，d，其中N(2 <= N <= 500)是城市数目，城市编号从0～N-1，M是城市间高速公路的条数，s是出发地的城市编号，d是目的地的城市编号；随后M行，每行给出一条高速公路的信息，表示城市1、城市2、高速公路长度、收费额，中间以空格间隔，数字均为整数且不超过500，输入数据均保证有解。 

输出

在同一行中输出路径长度和收费总额，数据间用空格间隔。 

示例输入

14 5 0 30 1 1 201 3 2 300 3 4 100 2 2 202 3 1 20

示例输出

3 40

提示

最短路径：

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法：是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

#include<iostream>#include<queue>#include<limits.h>#include<cstring>#define Max INT_MAXusing namespace std;int Edge[100][100];int dist[100];          //原点v0到vi最短路径长度int path[100];          //前一序号节点void Dijkstra(int n,int v0,int vn){    int s[100];             //标记数组    for(int i=0; i<n; i++)      //初始化dist数组和path数组    {        dist[i]=Edge[v0][i];        if(i!=v0&&dist[i]<Max)            path[i]=v0;        else path[i]=-1;    }    memset(s,0,sizeof(s));      //清零    s[v0]=1;    dist[v0]=0;    for(int i=1; i<n; i++)    {        int Min=Max;        int k=v0;        for(int j=0; j<n; j++)      //选择当前集合中最短路径的顶点k            if(!s[j]&&dist[j]<Min)            {                Min=dist[j];                k=j;            }        s[k]=1;        for(int j=0; j<n; j++)            if(!s[j]&&Edge[k][j]<Max&&dist[k]+Edge[k][j]<dist[j])            {                dist[j]=dist[k]+Edge[k][j];                path[j]=k;            }    }}int main(){    int t;    cin>>t;    while(t--)    {        int n,m,s,d;        cin>>n>>m>>s>>d;        for(int i=0; i<n; i++)  //初始化邻接矩阵            for(int j=0; j<n; j++)                if(i==j)                    Edge[i][j]=0;                else Edge[i][j]=Max;        for(int i=0; i<m; i++)        {            int a,b,l,c;            cin>>a>>b>>l;            Edge[a][b]=l;        }        Dijkstra(n,s,d);        int so[100];        cout<<endl;        for(int i=1; i<n; i++)        {            cout<<dist[i]<<"\t";            memset(so,0,sizeof(so));            int k=0;            so[k]=i;            while(path[so[k]]!=0)            {                k++;                so[k]=path[so[k-1]];            }            k++;            so[k]=0;            for(int j=k; j>0; j--)                cout<<so[j]<<"->";            cout<<so[0]<<endl;        }    }    return 0;}

下面是测试数据：

本题要求不一样，稍微改动一下：

#include<iostream>#include<queue>#include<limits.h>#include<cstring>#define Max INT_MAX#define MaxE 510using namespace std;int Edge[MaxE][MaxE];int cost[MaxE][MaxE];void Dijkstra(int n,int v0,int vn){    int dist[MaxE];          //原点v0到vi最短路径长度    int s[MaxE];             //标记数组    int mon[MaxE];//   int path[MaxE];          //前一序号节点    for(int i=0; i<n; i++)      //初始化dist数组和path数组    {        dist[i]=Edge[v0][i];        mon[i]=cost[v0][i];        //   if(i!=v0&&dist[i]<Max)        //        path[i]=v0;        //   else path[i]=-1;    }    memset(s,0,sizeof(s));      //清零    s[v0]=1;    dist[v0]=0;    mon[v0]=0;    for(int i=1; i<n; i++)    {        int Min=Max;        int k=v0;        for(int j=0; j<n; j++)      //选择当前集合中最短路径的顶点k            if(!s[j]&&dist[j]<Min)            {                Min=dist[j];                k=j;            }        s[k]=1;        for(int j=0; j<n; j++)            if(!s[j]&&Edge[k][j]<Max)            {                if(dist[k]+Edge[k][j]<dist[j])                {                    dist[j]=dist[k]+Edge[k][j];                    mon[j]=mon[j]+cost[k][j];                    //    path[j]=k;                }                else if(dist[k]+Edge[k][j]==dist[j]&&mon[k]+cost[k][j]<mon[j])                {                    mon[j]=mon[j]+cost[k][j];                }            }    }    cout<<dist[vn]<< " "<<mon[vn]<<endl;}int main(){    int t;    cin>>t;    while(t--)    {        int n,m,s,d;        cin>>n>>m>>s>>d;        for(int i=0; i<n; i++)  //初始化邻接矩阵            for(int j=0; j<n; j++)                if(i==j)                    Edge[i][j]=0;                else Edge[i][j]=Max;        for(int i=0; i<m; i++)        {            int a,b,l,c;            cin>>a>>b>>l>>c;            Edge[a][b]=Edge[b][a]=l;            cost[a][b]=cost[b][a]=c;        }        Dijkstra(n,s,d);    }    return 0;}

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)。

因为时间复杂多较高，可以参照：图结构练习——最短路径  的SPFA算法