Codechef PARSIN

题目大意

求以下的式子：

其中N很大,M<=30

Solution

首先列出dp方程
设F(n,m)=∑ni=1F(n−i,m−1)×sin(i×x)
这是暴力，然后我们尝试将sin(i×x)变成其他东西

预备知识

二倍角公式：
cos(2α)=cos2(α)−sin2(α)=2cos2(α)−1
sin(2α)=2cos(α)sin(α)
和差化积：
cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+sin(β)cos(α)
根据三角函数定义：
sin2(α)+cos2(α)=1

推导

sin(i×x)={sin((k−1)x+x)=cos(x)sin((k−1)x)+sin(x)cos((k−1)x)sin((k−2)x+2x)=cos(2x)sin((k−2)x)+sin(2x)cos((k−2)x)
2sin(k×x)=sin((k−1)x+x)+sin((k−2)x+2x)=cos(x)sin((k−1)x)+sin(x)cos((k−1)x)+cos(2x)sin((k−2)x)+sin(2x)cos((k−2)x)=cos(x)sin((k−1)x)+sin(x)cos((k−1)x)+2cos2(x)sin((k−2)x)−sin((k−2)x)+2cos(x)sin(x)cos((k−2)x)=cos(x)[sin((k−2)x)cos(x)+sin(x)cos((k−2)x)]+sin(x)cos((k−1)x)+2cos2(x)sin((k−2)x)−sin((k−2)x)+2cos(x)sin(x)cos((k−2)x)=3cos2(x)sin((k−2)x)+3cos(x)sin(x)cos((k−2)x)+sin(x)[cos((k−2)x)cos(x)−sin((k−2)x)sin(x)]−sin((k−2)x)=3cos2(x)sin((k−2)x)+4cos(x)sin(x)cos((k−2)x)−sin((k−2)x)−sin2(x)sin((k−2)x)=4cos2(x)sin((k−2)x)+4cos(x)sin(x)cos((k−2)x)−2sin((k−2)x)=4cos(x)[cos(x)sin((k−2)x)+sin(x)cos((k−2)x)]−2sin((k−2)x)=4cos(x)sin((k−1)x)−2sin((k−2)x)即：2sin(k×x)=4cos(x)sin((k−1)x)−2sin((k−2)x)sin(k×x)=2cos(x)sin((k−1)x)−sin((k−2)x)∴F(n,m)=∑ni=1F(n−i,m−1)×sin(i×x)=∑ni=2F(n−i,m−1)×sin(i×x)+F(n−1,m−1)×sin(x)=∑ni=2F(n−i,m−1)×2cos(x)×sin((i−1)x)−∑i=2F(n−i,m−1)×sin((i−2)x)+F(n−1,m−1)×sin(x)=2cos(x)×∑ni=2F(n−i,m−1)×sin((i−1)x)−∑i=2F(n−i,m−1)×sin((i−2)x)+F(n−1,m−1)×sin(x)=F(n−1,m)×2cos(x)−F(n−2,m)+F(n−1,m−1)×sin(x)

矩阵乘法

于是我们发现F(n,m)只与F(n-1,m),F(n-2,m),F(n-1,m-1)有关，于是我们可以用一个2m*2m的矩阵来做快速幂，最终就可以得出结果了。

。。。推到脑抽