[数竞题（雾）][CodeChef]PARSIN/[JZOJ4704]Math

题目大意

有T组数据，每一组给定n,m,x，让你计算

∑k1+k2+...km=n(∏i=1msin(kix))(ki∈N)

1≤n≤109,m≤30,T≤10

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题目分析

妈呀我搞的是OI不是IMO啊！

预备知识

首先你要会高中数学必修四的三角函数内容。
以下公式证明比较简单。我就不在此给出了，想要了解的可以自己去看书或查百度。

• cos和角公式：
  
  • cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)
  • cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)
• sin和角公式：
  
  • sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)
  • sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
• cos二倍角公式：cos(2α)=cos2(α)−sin2(α)=cos2(α)−(1−cos2(α))=2cos2(α)−1
• sin二倍角公式：sin(2α)=2sin(α)cos(α)

推公式

有了这些东西，我们就可以愉快地推公式了。
令答案为f(n,m)。
考虑当前km，如果km=1，那么其对答案贡献为

sin(x)∏i=1m−1sin(kix)

即sin(x)f(n−1,m−1)。
如果km>1咧？
我们要推公式了，咳咳：

sin(kx)={sin((k−1)x+x)=sin((k−1)x)cos(x)+cos((k−1)x)sin(x)sin((k−2)+2x)=sin((k−2)x)cos(2x)+cos((k−2)x)sin(2x)

两式相加：

2sin(kx)=sin((k−1)x)cos(x)+cos((k−1)x)sin(x)+sin((k−2)x)cos(2x)+cos((k−2)x)sin(2x)=sin((k−1)x)cos(x)+cos((k−1)x)sin(x)+sin((k−2)x)(2cos2(x)−1)+2cos((k−2)x)sin(x)cos(x)=2cos((k−2)x)sin(x)cos(x)+2sin((k−2)x)cos2(x)−sin((k−2)x)+sin((k−2)x+x)cos(x)+cos((k−1)x)sin(x)=2cos((k−2)x)sin(x)cos(x)+2sin((k−2)x)cos2(x)−sin((k−2)x)+[sin((k−2)x)cos(x)+cos((k−2)x)sin(x)]cos(x)+cos((k−1)x)sin(x)=3cos((k−2)x)sin(x)cos(x)+3sin((k−2)x)cos2(x)+cos((k−1)x)sin(x)−sin((k−2)x)=3cos((k−2)x)sin(x)cos(x)+3sin((k−2)x)cos2(x)−sin((k−2)x)+[cos((k−2)x)cos(x)−sin((k−2)x)sin(x)]sin(x)=4cos((k−2)x)sin(x)cos(x)+3sin((k−2)x)cos2(x)−sin((k−2)x)−sin((k−2)x)sin2(x)=4cos((k−2)x)sin(x)cos(x)+3sin((k−2)x)cos2(x)−sin((k−2)x)−sin((k−2)x)[1−cos2(x)]=4cos((k−2)x)sin(x)cos(x)+4sin((k−2)x)cos2(x)−2sin((k−2)x)=4cos(x)[cos((k−2)x)sin(x)+sin((k−2)x)cos(x)]−2sin((k−2)x)=4cos(x)sin((k−1)x)−2sin((k−2)x)

用LATEX写到这里，我耗尽了所有的力气……
然后除以二得到sin(kx)=2cos(x)sin((k−1)x)−sin((k−2)x)。
然后我们发现这个和k−1，k−2有关。
整理得到fn,m=sin(x)f(n−1,m−1)+2cos(x)f(n−1,m)−f(n−2,m)。这个可能有点难理解，你展开一下就明白了。
有了这些，我们直接矩阵乘法快速幂就好了。
时间复杂度O(m3log2n)。

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代码实现

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cmath>using namespace std;const int M=35;const int S=M<<1;typedef double db;struct matrix{    db num[S][S];    int r,c;}one,zero,mat;matrix operator*(matrix a,matrix b){    matrix c;    c.r=a.r,c.c=b.c;    for (int i=0;i<c.r;i++)        for (int j=0;j<c.c;j++)        {            c.num[i][j]=0;            for (int k=0;k<a.c;k++) c.num[i][j]+=a.num[i][k]*b.num[k][j];        }    return c;}matrix operator^(matrix a,int y){    matrix ret=zero;    for (;y;y>>=1,a=a*a) if (y&1) ret=ret*a;    return ret;}db X,cosX,sinX,ans;int T,n,m,s;int main(){    freopen("math.in","r",stdin),freopen("math.out","w",stdout);    for (scanf("%d",&T);T;T--)    {        scanf("%d%d%lf",&m,&n,&X);        cosX=cos(X),sinX=sin(X),s=m+1<<1;        memset(zero.num,0,sizeof zero.num),memset(one.num,0,sizeof one.num);        zero.r=zero.c=one.r=one.c=s;        for (int i=0;i<s;i++) zero.num[i][i]=1.0;        for (int i=0;i<=m;i++) one.num[i][i+m+1]=1.0;        for (int i=0;i<=m;i++)        {            one.num[i+m+1][i]=-1.0,one.num[i][i]=2*cosX;            if (i) one.num[i-1][i]=sinX;        }        memset(mat.num,0,sizeof mat.num);        mat.r=1,mat.c=s;        mat.num[0][1]=sinX;        mat=mat*(one^(n-1));        ans=mat.num[0][m];        if (ans>0) putchar('+');        else putchar('-'),ans=-ans;        while (ans>10) ans/=10.0;        while (ans<1) ans*=10.0;        printf("%d\n",(int)ans);    }    fclose(stdin),fclose(stdout);    return 0;}