递推

递推

 

递推算法是一种用若干步可重复运算来描述复杂问题的方法.

中文名

递推

外文名

The Algorithm of Recursive

　

　

　

　

目录

1. 1 基本介绍
2. 2 递推算法

基本介绍

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递推算法是一种用若干步可重复的简运算（规律）来描述复杂问题的方法.

递推是序列计算机中的一种常用算法。它是按照一定的规律来计算序列中的每个项，通常是通过计算机前面的一些项来得出序列中的指定象的值。其思想是把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复，该算法利用了计算机速度快和不知疲倦的机器特点。

递推算法

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【例1】

植树节那天，有五位同学参加了植树活动，他们完成植树的棵树都不相同。问第一位同学植了多少棵时，他指着旁边的第二位同学说比他多植了两棵；追问第二位同学，他又说比第三位同学多植了两棵；... 如此，都说比另一位同学多植两棵。最后问到第五位同学时，他说自己植了10棵。到底第一位同学植了多少棵树？

分析：设第一位同学植树的棵树为a1,欲求a1，需从第五位同学植树的棵数a5入手，根据“多两棵”这个规律，按照一定顺序逐步进行推算：

(1) a5=10;

(2) a4=a5+2=12;

(3) a3=a4+2=14;

(4) a2=a3+2=16;

(5) a1=a2+2=18;

Pascal程序：

Program Examl;

Var i,a:byte;

begin

a:=10;

for i:= 1 to 4 do

a:=a+2;

writeln('The Num is' ,a);

readln;

end.

本程序的递推运算可用下图示表示：

初始值a:=10 ----- i=1,a=a+2(12) ----- i=2,a=a+2(14) ------ i=3,a=a+2(16) ----- i=4,a=a+2(18) ---- 输出a值

例2：

十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.

第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;

第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;

综上得到

M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]

递推算法以初始（起点）值为基础，用相同的运算规律，逐次重复运算，直至运算结束。这种从“起点”重复相同的方法直至到达一定“边界”，犹如单向运动，用循环可以实现。递推的本质是按规律逐次推出（计算）先一步的结果。

例如：

问题一：三角形个数

从1，2，3，4，5......，n（n>=3）中选出三个不同的整数，可以组成三角形的个数

当n=3，0个

当n=4，1个

当n=5,   3个

......

设递推式：f（n）=  f (n-1)  +  c (n)

其中，c(n)为最大边长为n的三角形的个数

自己推得，c(n)=(n-3)(n-2)/2;

其中 ，最小条件，f（3）=0；

代码具体实现方式

递归（自顶向下）或打表（自底向上）

问题二：

求n!中含有素数m的整数因子的个数

n!=n*(n-1)*(n-2)......*2*1

即在n*(n-1)*(n-2)......*2*1中找km*(k-1)m*...*2m*m中含m的个数(即k+k-1+k-1+......+2+1)

令k=n/m,

所以：f(n)=n/m+f(n/m)   其中，当时s<m,f(s)=0