POJ2516-Minimum Cost(★ )

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大致题意：

       有N个供应商，M个店主，K种物品。每个供应商对每种物品的的供应量已知，每个店主对每种物品的需求量的已知，从不同的供应商运送不同的货物到不同的店主手上需要不同的花费，又已知从供应商Mj送第kind种货物的单位数量到店主Ni手上所需的单位花费。

问：供应是否满足需求？如果满足，最小运费是多少？

 

解题思路：

费用流问题。

 

（1）输入格式

在说解题思路之前，首先说说输入格式，因为本题的输入格式和解题时所构造的图的方向不一致，必须要提及注意。以样例1为例：

 

 

 

（2）题目分析和拆解：

A、首先处理“供应是否满足需求”的问题。

       要总供应满足总需求，就必须有 每种物品的供应总量都分别满足其需求总量，只要有其中一种物品不满足，则说明供不应求，本组数据无解，应该输出-1。但是要注意这里判断无解后，只能做一个标记，但还要继续输入，不然一旦中断输入，后面的几组数据结果就全错了。

       而要知道“每种物品的供应总量都分别满足其需求总量”，对所有供应商第kind种物品的供应量求和ksupp[kind]，对所有店主第kind种物品的需求量求和kneed[kind]，然后比较ksupp[kind]与kneed[kind]就可以了。

                     而最小费用流的计算是建立在“供等于求”或“供过于求”的基础上的。

 

       B、最小费用问题

       要直接求出“把所有物品从所有供应商运送到所有店主的最小费用MinTotalCost”是不容易的。但是求出“把第kind种物品从所有供应商运送到所有店主的最小费用MinCost[kind]”却简单得多，这就转化为经典的多源多汇的费用流问题，而最后只需要把K种物品的最小费用求和 MinCost[kind]，就能得到运送所有物品的最小费用MinTotalCost。

其实题目的输入方式最后要输入K个矩阵已经暗示了我们要拆解处理。

 

       C、构图

                 那么对于第kind种物品如何构图呢？

解决多源多汇网络问题，必须先构造与其等价的单源单汇网络。构造超级源s和超级汇t，定义各点编号如下：

 超级源s编号为0，供应商编号从1到M，店主编号从M+1到M+N，超级汇t编号为M+N+1。

令总结点数Nump=M+N+2，申请每条边的“花费”空间cost[Nump][ Nump]和“容量”空间cap[Nump][ Nump]，并初始化为全0。

超级源s向所有供应商M建边，费用为0，容量为供应商j的供应量。

       每个供应商都向每个店主建边，正向弧费用为输入数据的第kind个矩阵（注意方向不同），容量为供应商j的供应量；反向弧费用为正向弧费用的负数，容量为0。

所有店主向超级汇t建边，费用为0，容量为店主i的需求量。

 

注意：1、其他没有提及的边，费用和容量均为0，容量为0表示饱和边或不连通。

   2、计算每种物品的最小费用都要重复上述工作重新构图，不过存储空间cost和cap不必释放，可重新赋值再次利用。

      

       D、求解

       对于第kind种物品的图，都用spfa算法求解最小费用路径（增广链），再利用可分配最大流调MaxFlow整增广链上的容量，正向弧容量减去MaxFlow，反向弧容量减去MaxFlow，费用为单位花费乘以MaxFlow。

       具体的算法流程可参考我POJ2195的解题报告，基本一样。但注意的导致本题无可行解的原因只有“供不应求”，由输入数据知显然各边的容量均>=0，因此并不会出现负权环，spfa仍然用while循环直至无增广链为止足矣。

//Memory Time //596K  1188MS #include<iostream>#include<queue>using namespace std;class solve{public:solve(int n,int m,int k):N(n),M(m),K(k){MinTotalCost=0;Nump=N+M+2;s=0;t=N+M+1;Err=false;AppRoom();Input();Compute();}~solve(){if(Err)cout<<-1<<endl;elsecout<<MinTotalCost<<endl;Relax();}int inf() const{return 0x7FFFFFFF;}int min(int a,int b) {return a<b?a:b;}bool check(int kind) const{return ksupp[kind]>=kneed[kind];}void AppRoom(void);//申请存储空间void Input(void);//输入void Compute(void);//计算MinTotalCostvoid Initial(int kind);//初始化数据，重新构造第kind种物品的流量图bool spfa(void);//对当前图求最小费用流(增广链)void AddFlow(int kind);//对最小费用流增流，调整增广链上的流量和费用，并累计第kind种物品的费用MinCost[kind]void Relax(void);//释放空间protected:int N;//店主数int M;//供货商数int K;//商品种数int s,t;//超级源s 与 超级汇t 的编号int Nump;//N+M+超级源s+超级汇t (即总结点数量)int** supply;//supply[j][k]:供货商j对第k种物品的供货量int** need;//need[i][k]: 店主i对第k种物品的需求量int*** InputCost;//InputCost[kind][N][M] 对应输入的K的花费矩阵int* MinCost;//所有供货商运送第k种货物给所有店主的最小花费int MinTotalCost;//所有供货商运送所有物品给所有店主的最小总花费/*构图时各点编号-- 超级源s:0 , 供应商M:1~M , 店主N:M+1~M+N , 超级汇t:N+M+1*/int** cost;//任意两点之间的花费int** cap;//任意两点之间的容量int* dist;//超级源到各点的距离int* vist;//判断某点是否在队列中int* pre;//记录前驱. u->v，pre[v]=ubool Err;//标记供不应求int* ksupp;//第k种物品的总供应量int* kneed;//第k种物品的总需求量};void solve::AppRoom(void){int i,k;/*申请构图与解题必要空间*/MinCost=new int[K+1];ksupp=new int[K+1];kneed=new int[K+1];dist=new int[Nump];vist=new int[Nump];pre=new int[Nump];cost=new int*[Nump];cap=new int*[Nump];for(i=0;i<Nump;i++){cost[i]=new int[Nump];cap[i]=new int[Nump];}/*申请输入空间*/supply=new int*[M+1];for(i=1;i<=M;i++)supply[i]=new int[K+1];need=new int*[N+1];for(i=1;i<=N;i++)need[i]=new int[K+1];InputCost=new int**[K+1];//K个矩阵for(k=1;k<=K;k++){InputCost[k]=new int*[N+1];for(i=1;i<=N;i++)InputCost[k][i]=new int[M+1];}return;}void solve::Input(void){int i,j,k;for(i=1;i<=N;i++)for(k=1;k<=K;k++)cin>>need[i][k];for(j=1;j<=M;j++)for(k=1;k<=K;k++)cin>>supply[j][k];for(k=1;k<=K;k++)for(i=1;i<=N;i++)for(j=1;j<=M;j++)cin>>InputCost[k][i][j];/*计算第k种物品的供应总量和需求总量*/for(k=1;k<=K;k++){ksupp[k]=0;for(j=1;j<=M;j++)ksupp[k]+=supply[j][k];kneed[k]=0;for(i=1;i<=N;i++)kneed[k]+=need[i][k];}return;}void solve::Compute(void){for(int kind=1;kind<=K;kind++){Initial(kind);if(!check(kind))//检查第k种物品的供求情况{Err=true;return;}while(spfa())AddFlow(kind);MinTotalCost+=MinCost[kind];}return;}void solve::Initial(int kind){int i,j;MinCost[kind]=0;memset(pre,0,sizeof(int)*Nump);for(i=0;i<Nump;i++)//目的是处理不属于当前所构造的图的边{memset(cap[i],0,sizeof(int)*Nump);memset(cost[i],0,sizeof(int)*Nump);}/*初始化超级源s到各个供货商的容量*/for(j=1;j<=M;j++)cap[s][j]=supply[j][kind];//s到供货商j的容量为供货商j的供应量/*初始化各个店主到超级汇t的容量*/for(i=M+1;i<t;i++)cap[i][t]=need[i-M][kind];//店主i到t的容量为店主i的需求量/*初始化各个供应商到各个店主的容量和费用*/for(i=M+1;i<t;i++)for(j=1;j<=M;j++){cost[j][i]=InputCost[kind][i-M][j];//注意这里的费用存储方式与输入的存储方式相反cost[i][j]=-cost[j][i];//反向弧费用cap[j][i]=supply[j][kind];//供应商j到店主i的容量为供货商j的供应量}return;}bool solve::spfa(void){for(int i=s;i<=t;i++){dist[i]=inf();vist[i]=false;}dist[s]=0;queue<int>q;q.push(s);vist[s]=true;while(!q.empty()){int u=q.front();for(int v=s;v<=t;v++){if(cap[u][v] && dist[v]>dist[u]+cost[u][v]){dist[v]=dist[u]+cost[u][v];pre[v]=u;if(!vist[v]){q.push(v);vist[v]=true;}}}q.pop();vist[u]=false;}if(dist[t]<inf())return true;//dist[t]被修正，说明找到增广链return false;//已无增广链，spfa结束}void solve::AddFlow(int kind){int MaxFlow=inf();//可分配最大流int i;for(i=t;i!=s;i=pre[i])MaxFlow=min(MaxFlow,cap[pre[i]][i]);//可分配最大流=增广链上的最小容量for(i=t;i!=s;i=pre[i]){cap[pre[i]][i]-=MaxFlow;//正向弧容量调整cap[i][pre[i]]+=MaxFlow;//反向弧容量调整MinCost[kind]+=cost[pre[i]][i]*MaxFlow;//最小费用=单位费用*可分配最大流}return;}void solve::Relax(void){int i,k;delete[] MinCost;delete[] dist;delete[] vist;delete[] pre;delete[] ksupp;delete[] kneed;for(i=0;i<Nump;i++){delete[] cost[i];delete[] cap[i];}for(i=1;i<=M;i++)delete[] supply[i];for(i=1;i<=N;i++)delete[] need[i];for(k=1;k<=K;k++){for(i=1;i<=N;i++)delete[] InputCost[k][i];delete[] InputCost[k];}return;}int main(void){int n,m,k;while(cin>>n>>m>>k && (n+m+k))solve poj2516(n,m,k);return 0;}