【NOIP2012模拟10.29】排列 一题总结

题目大意：在n的全排列里找出第k大的全排列并统计出在这个全排列里有多少个数满足这个数是Index数，且这个数所对应的下标位置也是Index数.（Index数是指这个数完全是由4和7组成的正整数）

分析：

30分做法：

暴力递归求解第k大的全排列，并统计Index数个数.

时间复杂度接近O(n！)

100分做法：

因为n<=10^9，这是一个非常大的数，但是又由于k<=10^9，顾可以看出我们无需考虑n的所有位数.

举例：

当n=5的时候，k等于6，很明显只对n的后三位有改变.

1 2 3 4 5

1 2 3 5 4

1 2 4 3 5

1 2 4 5 3

1 2 5 3 4

1 2 5 4 3

因为后面三位能组成3!种排列.

同理，对于k<=10^9，只可能对n后面十三位有影响，前面位数上的数肯定是按照1,2,3,4……这样子排列的.

明白了这点，我们可以把n分类讨论，分两部分：

会被k影响到的，设为后j位

不会被k影响到的，前n-j位

对于前n-j位因为是按1,2,3......这样排列下去，每个数与每个数所对应的位置都相等，所以我们只需把所有是Index数的数存起来，然后直接判断是否小于等于n-j即可.

那么对于后j位我们怎么做呢？

这样要运用到康托逆展开.

那么康托逆展开的具体方法是什么呢？

设我们要求第k大的全排列，先把后j位看成j,j+1,j+2……这样子排列的数.

则求第i位数可表示为： 

t  ÷  (w-1)！ = x …… y

(t的初值是k-1,w的初值则是j-1,)

这里的x和y分别代表，之前记算全排列时i-1位当中没有求过的数所组成的数列中第x+1个大的数则为全排列的第i位，y则表示计算第i+1位当中t的值，w很明显每次计算时是递减的.

这样子做一遍效率是O(n²)的.

可以在题目规定时间内找出第K大的全排列.

找出全排列之后，我们只需再扫一遍判断这j个数和其对应的下标是否都是Index数即可.

那这样子的时间复杂度应最坏为O(2^(log10n)+2^(log10n)*m+m²)（之前证明过m最大不会超过13）

做出这一题后对康拓逆展开应该有一个初步的认知了，但是还需弄懂康拓逆展开的原理才能印象更加深刻.

（以下证明不仅不严谨，且很多话语表达不清，只是自己的一些微弱理解，请大神自动跳过）

设我们要求的是n的全排列当中第k大的全排列，每次是求第i位上的数.

根据公式

t  ÷  (w-1)！ = x …… y

这里(w-1)!是后i+1位上还有多少个数.

那么t应该怎么表达会更加清晰呢？

转眼一看，t好像指的是在求第i位时，我们要找的第t大的全排列.

但因为t的初值是K-1，所以t更形象的可以表达成我要求当前第i位时第t-1大的全排列.

那么计算出来的x所表示的第x+1大的数为全排列第i位上的数的正确性怎么证明呢，想弄懂这个，首先得明白x所代表的是什么？

x所代表的是全排列第i位上比这个数小的数有x个，那么第x+1大的数就是第全排列第i位上的数就可以很容易的证明了.

而y为什么是下次求值的t，则也可以通过如上一番讨论轻松理解了.