数论--简述同余关系及其部分性质

同余关系：

同余：如果a和b除以c的余数相同，就说a和b关于模c同余，记作a≡b(mod c)。

     如果两个数a和b的差能够被m整除，那么就说a和b对模数m同余（关于m同余）。

比如，28-13=15除以5正好除尽，我们就说28和13对于模数5同于，因为15是5的整

数倍。它的另外一层含义就是说：28和13除以5的余数相同。a和b对m同余，我们记

作a≡b(mod m)。比如，28与13对5同余可以写作28≡13(mod 5)。

同余关系是一种等价关系。

1.自反性：一个数永远和自己本身同余

2.对称性：a和b同余，b和a也就同余

3.传递性：a和b同余，b和c也同余，可以推出a和c也是同余的

同余运算中还有一些稍微复杂的性质。比如，同于运算和整数加减法一样满足“等量+等

量，其和不变”。

性质1.如果a≡b(mod m),x≡y(mod m)，则有a+x≡b+y(mod m)。

证明：对于a≡b(mod m)，总可以找到p,q，使得 a-mp=b-mq //等式1

同理对于x≡y(mod m)，总可以找到r,s，使得x-mr=y-mq//等式2

等式1+等式2，有(a+x)-m(p+r)=(b+y)-m(q+s)  //可以看出余数相等

则有    (a+x)≡(b+y)(mod m) //得证

同样的方法可以证明另外一条性质

性质2：如果a≡b(mod m),x≡y(mod m)，则有ax≡by(mod m)。

证明：依旧先得到等式1与等式2，等式1*等式2，得到：

(a-mp)(x-mr)=(b-mq)(y-ms)

化简，得  ax+m(mpr-ar-xp)=by+m(mqs-bs-yq)

即有ax≡by(mod m)  //得证

性质3：如果ac≡bc(mod m),且c和m互质，则有a≡b(mod m)(就是说同余式两边可

以同时除以一个和模数互质的数)。

证明：对于ac≡bc(mod m)，我们总可以找到p,q使得

ac-mp=bc-mq

移项有ac-bc=mp-mq

即有       c(a-b)=m(p-q)

这说明c(a-b)/m=(p-q) c(a-b)可以被m整除

又因为 c与m互质  所以(a-b)可以被m整除

得到a≡b(mod m)

性质4：若ac≡bd,c≡d(mod m)，且(c,m)=1(c和m的最大公约数是1),得到a≡b(mod m)。

证明：因为(c,m)=1,且c≡d(mod m)所以(d.m)=1

 因为c≡d(mod m)所以总可以找到p,q，使得c-mp=d-mq

两边同乘a，有ca-mpa=da-mqa

因为ac≡bd所以有 ba-mpa=da-mqa

所以有 bd≡da(mod m)

又因为(d.m)=1所以有b≡a(mod m)。

除此之外还有其他的同余性质关系等式...

在ACM做题目的过程中经常会遇到mod xxxxxxx... ，这是因为为了避免高精度的运

算。因为我们可以看得出在运算过程中算完再mod还是一遍算一边mod，最后得到的结

果是一样的，就是因为同余 的关系。因为同余关系只是关心余数，不用去在乎除的时候

整数的部分。所以，在整个运算过程中每一步最大都不会超过m，从而避免了高精度的

运算。

明白了这个同余关系之后可以去看看扩展欧几里得算法和中国剩余定理的详细解释。下

面给出两道传送门：

（1）扩展欧几里得算法

（2）中国剩余定理

PS:多数资料查询于网络