关于存在一个正整数n，使得大于n的整数都能由6、9、20相加组合而成的证明

关于存在一个正整数n，使得大于n的整数都能由6、9、20相加组合而成的证明

数学表述方式为:

总存在不小于零的整数a,b,c,使得下式成立 6a+9b+20c= n+k; （1）

其中n为足够大的一正整数，k为任意的一个正整数。 （命题A）

证明：要证明这个命题，我觉得先证明以下这个命题，然后再来证明这个命题比较容易些。

求证：大于100以后的数都能表示为整数个20和整数个3算术相加，

即存在不小于零的整数a,b总使得下式成立，

3a+20b=n （2）

n为任意大于100的整数。 (命题B)

（2）式可改写为：3a = n-20b

即只要证明n-20b能被3整除就可以了，

其中b 为一合适的不小于零的整数。

      我们都知道，一个数只要各个位数（十位、百位、千位…）上的数字之和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除。

      任意一个整数除以3，余数只可能是0,1,2,这三种可能。

1.首先n%3=0的情况显然满足条件。（其中“%”为求余符号）；

2.考虑n%3=1的情况，

设n = 100+k,其中k为正整数,显然k%3=0,

此时将式子n-20b中的b值设定为2,则式子(n-20b)%3变为（100+k-40）%3，

即为：(60+k)%3,因k能被3整除，因此（60+k）%3的值为零。

因此当n%3=1时，存在满足条件的b 值能使n-20b能被3整除;

3. 考虑n%3=2的情况，

设n = 98+k,其中k为正整数,显然k%3=0,

此时将式子n-20b中的b值设定为4, 则式子(n-20b)%3变为（98+k-80）%3，

即为：(18+k)%3, 因k能被3整除，因此（18+k）%3的值为零。

因此当n%3=2时，存在满足条件的b 值能使n-20b能被3整除;

综上所述，命题B成立。

 

现在再来看命题A ,

容易看出，6、9能够组合成大于6且能被3整除的任意数。

6，9，就不说了，12=6+6，15=6+9，18=9+9，21 = 9+6+6…,

只要将上次式中的6换成9，或将上次式中的9换成6+6就能得到下一个能被3整除的数。

命题2设定值大于100,远大于6,因此命题A成立。