精确表达浮点数

在计算机中，使用float或者double来存储小数是不能得到精确值的。如果你希望得到精确计算结果，最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如：

0.9=9/10

0.333（3）=1/3（括号中的数字表示是循环节）

当然一个小数可以用好几种分数形式来表示。如：0.333（3）=1/3=3/9

给定一个有限小数或者无限循环小数，你能否以分母最小的分数形式来返回这个小数呢？如果输入为循环小数，循环节用括号标记出来。下面是一些可能的输入数据，如0.3、0.30、0.3（000）、0.3333（3333）、……

 

分析与解法

拿到这样一个问题，我们往往会从最简单的情况入手，因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和，不妨只考虑大于0，小于1的纯小数，而且暂时不考虑分子和分母的约分，先设法将其表示为分数形式，然后再进行约分。题目中输入的小数，要么为有限小数X=0.a1a2…an，要么为无限循环小数X=0.a1a2…an（b1b2…bm），X的表示式中的字母a1a2…an，b1b2…bm都是0~9的数字，括号部分（b1b2…bm）表示循环节，我们需要处理的就是以上两种情况。

 

对于有限小数X=0.a1a2…an来说，这个问题比较简单，X就等于（a1a2…an）/10^n。 

对于无限循环小数X=0.a1a2…an（b1b2…bm）来说，其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分，我们可以做如下的转换：

X=0.a1a2…an（b1b2…bm）

=>10^n*X=a1a2…an.（b1b2…bm）

=>10^n*X=a1a2…an+0.（b1b2…bm）

=>X=(a1a2…an+0.（b1b2…bm）)/10^n

 

对于整数部分a1a2…an，不需要做额外处理，只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分，可以采用如下方式进行处理： 

令Y=0.b1b2…bm，那么

10^m*Y=b1b2…bm.（b1b2…bm）

=>10^m*Y=b1b2…bm+0.（b1b2…bm）

=>10^m*Y-Y=b1b2…bm

=>Y=b1b2…bm/（10^m-1）

 

将Y代入前面的X的等式可得：

X=(a1a2…an+Y)/10^n

=(a1a2…an+b1b2…bm/(10^m-1))/10^n

=((a1a2…an)*(10^m-1)+(b1b2…bm))/((10^m-1)*10^n)

 

至此，便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示，但是此时分母未必是最简的，接下来的任务就是让分母最小，即对分子和分母进行约分，这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B，可以简化成（A/Gcd（A,B））/（B/Gcd（A,B）），其中Gcd函数为求A和B的最大公约数，这就涉及本书中的算法（2.7节“最大公约数问题”），其中有很巧妙的解法，请读者阅读具体的章节，这里就不再赘述。

 

综上所述，先求得小数的分数表示方式，再对其分子分母进行约分，便能够得到分母最小的分数表现形式。

 

例如，对于小数0.3（33），根据上述方法，可以转化为分数：

0.3（33）

=（3*（10^2-1）+33）/（（10^2-1）*10）

=（3*99+33）/990

=1/3

 

对于小数0.285714（285714），我们也可以算出：

0.285714（285714）

=（285714*（10^6-1）+285714）/（（10^6-1）*10^6）

=（285714*999999+285714）/999999000000

=285714/999999

=2/7

 程序如下：（对程序进行了修改，之前没有考虑，有限小数的情况，特此加上）

public class Float {public static void main(String[] args){String str = "0.285714(285714)";str =compute(str);System.out.println(str);str = "0.3(33)";str =compute(str);System.out.println(str);str = "0.52";str = compute(str);System.out.println(str);}public static String compute(String str){long sum1 =0;long sum2 =0;int n=0;int m=0;long fenzi=0;long fenmu=0;long km=1;long kn=1;for(int i=2;i<str.length();i++){if(str.charAt(i)=='('){break;}else{sum1 = sum1 *10+str.charAt(i)-'0';}n++;}//System.out.println("n="+n);for(int i=n+3;i<str.length();i++){if(str.charAt(i)==')'){break;}else{sum2 = sum2 *10+str.charAt(i)-'0';}m++;}//System.out.println("m="+m);//System.out.println(sum1+" "+sum2);for(long i=0;i<m;i++)km=km*10;for(long i=0;i<n;i++)kn=kn*10;//System.out.println("km ="+km+" kn="+kn);if(km==1){fenzi = sum1;fenmu = kn;long g = gcd(fenzi,fenmu);fenzi = fenzi/g;fenmu = fenmu/g;}else{fenzi = sum1*(km-1)+sum2;fenmu = (km-1)*kn;//System.out.println(fenzi+" "+fenmu);long w = gcd(fenzi,fenmu);//System.out.println(w);fenzi = fenzi/w;fenmu = fenmu/w;}str = ""+fenzi+"/"+fenmu;//System.out.println(fenzi+"/"+fenmu);return str;}public static long gcd(long a,long b){if(b==0)return a;if(a<0)return gcd(-a,b);if(b<0)return gcd(a,-b);return gcd(b,a%b);}}

结果如下：

2/7
1/3
13/25